Đáp án:
$m = -3 \pm 2\sqrt{2}$
Giải thích các bước giải:
$y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x - m^3 + m$
$y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 -1)$
$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=m+1\\x=m-1\end{array} \right.$
Mặt khác: $y = \left(\dfrac{1}{3}x - \dfrac{m}{3}\right).y' - 2x$
$\Rightarrow y = - 2x$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
Gọi $A$ là điểm cực đại, $B$ là điểm cực tiểu
$\Rightarrow \begin{cases}A(m-1;-2m+2)\\B(m+1;-2m-2)\end{cases}$
Ta được: $AO = \sqrt{(m-1)^2 + (-2m+2)^2}$
$BO = \sqrt{(m+1)^2 + (-2m-2)^2}$
Theo đề, ta được:
$AO = \sqrt{2}.BO$
$\Leftrightarrow AO^2 = 2BO^2$
$\Leftrightarrow (m-1)^2 + (-2m+2)^2 = 2[(m+1)^2 + (-2m-2)^2]$
$\Leftrightarrow m^2 +6m + 1 = 0$
$\Leftrightarrow m = -3 \pm 2\sqrt{2}$
Vậy $m = -3 \pm 2\sqrt{2}$
