Dựa vào bảng biến thiên của $y = f'(x)$ ta được:
$f'(x)$ có dạng hàm bậc $3:\ y = f'(x) = g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$
$\Rightarrow y' = g'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$
Đồ thị đi qua $(0;-3)$ và $(1;-2)$
$\begin{cases}d = - 3\\a + b + c + d = -2\end{cases}$
Đồ thị nhận $x =0$ và $x = 1$ là hai điểm cực trị
$\begin{cases}c = 0\\3a + 2b + c = 0\end{cases}$
Do đó ta được hệ phương trình:
$\begin{cases}a + b + c + d = -2\\3a + 2b + c = 0\\c =0\\d = -3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a = -2\\b = 3\\c = -3\end{cases}$
Vậy $f'(x) = - 2x^3 + 3x^2 - 3$
$\Rightarrow f(x) = \displaystyle\int f'(x)dx$
$\Rightarrow f(x) = \displaystyle\int (-2x^3 + 3x^2 - 3)dx$
$\Rightarrow f(x) = - \dfrac{1}{2}x^4 + x^3 - 3x + C$
Lại có: $f(0)= 0$
$\Leftrightarrow C= 0$
Vậy $f(x)= - \dfrac{1}{2}x^4 + x^3 - 3x$
