Đáp án:

 x=1

Giải thích các bước giải:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \frac{x^{2} +x}{x^{2} +1} +\frac{2x^{2} +4x}{x^{2} +2} +x^{3} -x^{2} -3=0\\ \Longrightarrow \ \frac{\left( x^{2} +x\right)\left( x^{2} +2\right)}{\left( x^{2} +1\right)\left( x^{2} +2\right)} +\frac{\left( 2x^{2} +4x\right)\left( x^{2} +1\right)}{\left( x^{2} +1\right)\left( x^{2} +2\right)} +\frac{\left( x^{3} -x^{2} -3\right)\left( x^{2} +1\right)\left( x^{2} +2\right)}{\left( x^{2} +1\right)\left( x^{2} +2\right)} =0\\ \Longrightarrow \ x^{4} +3x^{2} +2x+2x^{4} +2x^{2} +4x^{3} +4x+\left( x^{3} -x^{2} -3\right)\left( \ x^{4} +3x^{2} +2\right) =0\ \left( do\ \left( x^{2} +1\right)\left( x^{2} +2\right) >0\right)\\ \Longrightarrow \ 3x^{4} +4x^{3} +5x^{2} +6x+x^{7} +3x^{5} +2x^{3} -x^{6} -3x^{4} -2x^{2} -3x^{4} -9x^{2} -6=0\\ \Longrightarrow \ x^{7} -x^{6} +3x^{5} -3x^{4} +6x^{3} -6x^{2} +6x-6=0\\ \Longrightarrow ( x-1)\left( x^{6} +3x^{4} +6x+6\right) =0\\ \Longrightarrow \ x-1=0\ do\ x^{6} +3x^{4} +6x+6 >0\\ \Longrightarrow x=1 \end{array}$

`\qquad {x^2+x}/{x^2+1}+{2x^2+4x}/{x^2+2}+x^3-x^2-3=0`

`<=>({x^2+x}/{x^2+1}-1)+({2x^2+4x}/{x^2+2}-2)+x^3-x^2=0`

`<=>{x^2+x-(x^2+1)}/{x^2+1}+{2x^2+4x-2(x^2+2)}/{x^2+2}+x^2(x-1)=0`

`<=>{x-1}/{x^2+1}+{4(x-1)}/{x^2+2}+x^2(x-1)=0`

`<=>(x-1)(1/{x^2+1}+4/{x^2+2}+x^2)=0` $(1)$

Với mọi $x$ ta có:

`\qquad 1/{x^2+1}>0`

`\qquad 4/{x^2+2}>0`

`\qquad x^2\ge 0`

`=>1/{x^2+1}+4/{x^2+2}+x^2>0` với mọi $x$

`(1)<=>x-1=0`

`<=>x=1`

Vậy phương trình có nghiệm `x=1`