Đáp án: $D.\,\,14$
Giải thích các bước giải:
$f\left( f\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right) \right)=0$
Kẻ đường thẳng $y=0$ vào bảng biến thiên.
Nó cắt tại 4 điểm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}}$. Bao gồm $\left[\begin{array}{l}x_1\in\left(-\infty;-4\right)\\x_2\in\left(-4;0\right)\\x_3\in\left(0;4\right)\\x_4\in\left(4;+\infty\right)\end{array}\right.$
Chuẩn hóa số liệu, ta chọn đại 4 nghiệm là: $\left[\begin{array}{l}x_1=-5\\x_2=-2\\x_3=2\\x_4=5\end{array}\right.$
Như vậy $f\left( f\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right) \right)=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=-5\\f\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=-2\\f\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=2\\f\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=5\end{array}\right.$
* Xét $f\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=-5$.
Kẻ đường thẳng $y=-5$ vào bảng biến thiên, nó không cắt tại một điểm nào. Vô nghiệm
* Xét $f\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=-2$.
Kẻ đường thẳng $y=-2$ vào bảng biến thiên, nó cắt tại 4 điểm phân biệt
Vẫn là chuẩn hóa số liệu
Ta được $\left[\begin{array}{l}x^2-2x-3=-5\,\,\,\,\,\left(\text{ Vô nghiệm }\right)\\x^2-2x-3=-2\,\,\,\,\,\left(\text{ 2 nghiệm }\right)\\x^2-2x-3=2\,\,\,\,\,\left(\text{ 2 nghiệm }\right)\\x^2-2x-3=5\,\,\,\,\,\left(\text{ 2 nghiệm }\right)\end{array}\right.$
Với $f\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=-2$, ta có được $6$ nghiệm
* Xét $f\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=2$
Kẻ đường thẳng $y=2$ vào bảng biến thiên, nó cắt tại $4$ điểm phân biệt
Vẫn là chuẩn hóa số liệu
Ta được $\left[\begin{array}{l}x^2-2x-3=-5\,\,\,\,\,\left(\text{ Vô nghiệm }\right)\\x^2-2x-3=-2\,\,\,\,\,\left(\text{ 2 nghiệm }\right)\\x^2-2x-3=2\,\,\,\,\,\left(\text{ 2 nghiệm }\right)\\x^2-2x-3=5\,\,\,\,\,\left(\text{ 2 nghiệm }\right)\end{array}\right.$
Với $f\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=2$, ta có thêm được $6$ nghiệm
* Xét $f\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=5$
Kẻ đường thẳng $y=5$ vào bảng biến thiên, nó cắt tại $2$ điểm phân biệt
Vẫn là chuẩn hóa số liệu
Ta được $\left[\begin{array}{l}x^2-2x-3=-5\,\,\,\,\,\left(\text{ Vô nghiệm }\right)\\x^2-2x-3=5\,\,\,\,\,\left(\text{ 2 nghiệm }\right)\end{array}\right.$
Với $f\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=5$, ta có thêm được $2$ nghiệm
Vậy có tổng cộng $14$ nghiệm tất cả
Chọn câu $D$
