$\\$
`a,`
Xét `ΔABC` và `ΔABE` có :
`hat{ABC}=hat{ABE}=90^o` (gt)
`AB` chung
`BC=BE` (Do `B` là trung điểm của `CE`)
`-> ΔABC = ΔABE` (cạnh - góc - cạnh)
`-> AC = AE` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔAEC` cân tại `A`
$\\$
`b,`
Do `ΔABC = ΔABE` (cmt)
`-> hat{BAC}=hat{BAE}` (2 góc tương ứng)
hay `hat{NAH}=hat{MAH}`
Xét `ΔANH` và `ΔAMH` có :
`hat{ANH}=hat{AMH}=90^o` (gt)
`AH` chung
`hat{NAH}=hat{MAH}` (cmt)
`-> ΔANH = ΔAMH` (cạnh huyền - góc nhọn)
`-> AN=AM` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔMAN` cân tại `A`
`-> hat{AMN}=(180^o - hat{A})/2` (*)
Do `ΔACE` cân tại `A` (cmt)
`-> hat{AEC}=(180^o - hat{A})/2` (**)
Từ (*), (**)
`-> hat{AMN}=hat{AEC}(= (180^o - hat{A})/2)`
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
$→ MN//CE$
$\\$
`c,`
Do `ΔANH = ΔAMH` (cmt)
`-> HM = HN` (2 cạnh tương ứng)
Xét `ΔCNH` có :
`hat{CNH}=90^o` (gt)
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`HC` là cạnh lớn nhất
`-> HN < HC`
mà `HM=HN` (cmt)
`-> HM < HC`
$\\$
`d,`
Giả sử `ΔABC` có : `hat{BCA}=60^o`
Do `ΔACE` cân tại `A` (cmt)
mà `hat{BCA}=60^o` (giả sử)
`-> hat{BCA}=(180^o - hat{CAE})/2`
`-> 60^o = (180^o -hat{CAE})/2`
`-> 180^o - hat{CEA}=120^o`
`-> hat{CEA}=60^o`
Do `ΔMAN` cân tại `A` (cmt)
`-> hat{AMN}=(180^o - hat{CAE})/2`
`-> hat{AMN}=(180^o - 60^o)/2`
`-> hat{AMN}=120^o/2`
`-> hat{AMN}=60^o`
Có : `hat{AMN}+hat{NMC}=90^o`
`-> hat{NMC}=90^o - hat{AMN}`
`-> hat{NMC}=90^o - 60^o`
`-> hat{NMC}=30^o` (1)
Có : `hat{NCM}+hat{CAE}=90^o`
`-> hat{NCM}=90^o - hat{CAE}`
`-> hat{NCM}=90^o -60^o`
`-> hat{NCM}=30^o` (2)
Từ (1), (2)
`-> hat{NCM}=hat{NMC}=30^o`
`-> ΔCMN` cân tại `N`
Vậy nếu `ΔABC` có : `hat{BCA}=60^o` thì `ΔCMN` cân tại `N`
