Đáp án:
1. x = 3
2. x = 1
3. x = 1
4. x ≥ 2
5. x = 1; x = 2; x = 10
Giải thích các bước giải:
1. Điều kiện x ≥ - 1
2√(x + 2 + 2√(x + 1)) - √(x + 1) = 4.
⇔ 2√(√(x + 1) + 1)² - √(x + 1) = 4.
⇔ 2(√(x + 1) + 1) - √(x + 1) = 4.
⇔ √(x + 1) = 2
⇔ x = 3
2. Điều kiện x ≥ 1/2
√(2x - 1) + x² - 3x + 1 = 0.
⇔ √(2x - 1) - 1 + x² - 3x + 2 = 0.
⇔ (2x - 21)/[√(2x - 1) + 1] + (x - 1)(x + 2) = 0.
⇔ (x - 1)[2/[√(2x - 1) + 1] + x + 2] = 0.
⇔ x - 1 = 0 ( vì x ≥ 1/2 nên 2/[√(2x - 1) + 1] + x + 2 > 0)
⇔ x = 1
3. Điều kiện x > 2/3
x²/√(3x - 2) - √(3x - 2) = 1 - x.
⇔ (x² - 3x + 2)/√(3x - 2) + x - 1 = 0
⇔ (x - 1)(x + 2)/√(3x - 2) + x - 1 = 0
⇔ (x - 1)[(x + 2)/√(3x - 2) + 1] = 0
⇔ x - 1 = 0 ( vì x > 2/3 nên (x + 2)/√(3x - 2) + 1 > 1)
⇔ x = 1
4. Điều kiện x ≥ 1
√(x + 2√(x - 1)) - √(x - 2√(x - 1)) = 2.
⇔ √(√(x - 1) + 1)² - √(√(x - 1) - 1)² = 2.
⇔ √(x - 1) + 1 - |√(x - 1) - 1| = 2 (1)
Nếu √(x - 1) - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 thì |√(x - 1) - 1| = √(x - 1) - 1 thì (1) ⇔ 2 = 2 ⇔ PT nghiệm đúng với mợi x ≥ 2
Nếu √(x - 1) - 1 < 0 ⇔ 1 ≤ x < 2 thì |√(x - 1) - 1| = 1 - √(x - 1) thì (1) ⇔ √(x - 1) = 1 ⇔ x = 2 không thỏa vì x < 2
Vậy PT đã cho có vô số nghiệm thỏa x ≥ 2
5. Điều kiện x ≥ 1
∛(2 - x) = 1 - √(x - 1).
Đặt y =√(x - 1) ≥ 0 ⇔ y² = x - 1 ⇔ 2 - x = 1 - y² ta có
∛(1 - y²) = 1 - y
⇔ 1 - y² = (1 - y)³
⇔ (1 - y)[1 + y - (1 - y)²] = 0
⇔ 1 - y = 0 ⇔ y = 1 ⇔√(x - 1) = 1 ⇔ x = 2
Và: 1 + y - (1 - y)² = 0 ⇔ y² - 3y = 0 ⇔ y = 0; y = 3 ⇔ x = 1; x = 10
