Giải thích các bước giải:
a. Xét tam giác ABD có M là trung điểm của AB, Q là trung điểm của AD
Suy ra: MQ là đường trung bình thuộc cạnh BD của tam giác ABD
Khi đó: MQ//BD và $MQ = {1 \over 2}BD$ (1)
Chứng minh tương tự: NP//BD và $NP = {1 \over 2}BD$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ MQ//NP và MQ = NP
⇔ MNPQ là hình bình hành.
b. Để MNPG là hình chữ nhật thì $MQ \bot MN$
Khi đó: BD ⊥ AC (MN//AC, MQ//BD) (*)
Mà ABCD là hình bình hành (**)
Từ (*) và (**) ⇒ ABCD là hình thoi
Các ý còn lại làm tương tự.
c. Vì ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của AC và BD
⇒ O là trung điểm của AC và BD
Lại có: M là trung điểm của AB, P là trung điểm của CD
⇒ MB//DP và MB = 1/2 AB = 1/2 CD = DP
⇔ MBPD là hình bình hành
O là trung điểm của đường chéo BD nên O cũng là trung điểm của đường chéo MP
Vậy M, O, P thẳng hàng.
d. Theo câu a: MNPQ là hình bình hành
Mà O là trung điểm của MP (câu c)
⇒ O cũng là trung điểm của QN
Vậy AC, BD, QN đồng quy tại O.
