Bài 6.4:
1) $y' + y\cos x = \sin x\cos x\quad (1)$
Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:
$\quad y = C.e^{\displaystyle\int -\cos xdx}$
$\Leftrightarrow y = C.e^{-\sin x}$
Do đó nghiệm tổng quát của $(1)$ có dạng:
$\quad y = C(x).e^{-\sin x}$
$\Rightarrow y' = C'(x).e^{-\sin x} - C(x).\cos x.e^{-\sin x}$
Thay vào $(1)$ ta được:
$\quad C'(x).e^{-\sin x} - C(x).\cos x.e^{-\sin x} + C(x).e^{-\sin x}.\cos x = \sin x\cos x$
$\Leftrightarrow C'(x)= \sin x\cos xe^{\sin x}$
$\Leftrightarrow C(x)= \sin xe^{\sin x} - e^{\sin x} + C_1$
Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là:
$\quad y = \sin x - 1 + C_1e^{-\sin x}$
Ta lại có:
$\quad y(0)= 0$
$\Leftrightarrow\sin0 - 1 + C_1.e^{-\sin0}= 0$
$\Leftrightarrow C_1 = 1$
Vậy phương trình có nghiệm là:
$y = \sin x + e^{-\sin x} - 1$
3) $y' + \dfrac{n}{x}y = \dfrac{a}{x^n}\quad (3)$
Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:
$\quad y = C.e^{\displaystyle\int-\dfrac{n}{x}dx}$
$\Leftrightarrow y = C.e^{-n\ln x}$
$\Leftrightarrow y = C.x^{-n}$
Do đó nghiệm tổng quát của $(3)$ có dạng:
$\quad y = C(x).x^{-n}$
$\Rightarrow y' = C'(x).x^{-n} - n.x^{-n-1}.C(x)$
Thay vào $(3)$ ta được:
$\quad C'(x).x^{-n} - n.x^{-n-1}.C(x) + \dfrac{n}{x}\cdot C(x)\cdot x^{-n} = \dfrac{a}{x^n}$
$\Leftrightarrow C'(x)= a$
$\Leftrightarrow C(x)= ax + C_3$
Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là:
$\quad y = ax^{-n+1} + C_3x^{-n}$
Ta lại có:
$\quad y(1)= 0$
$\Leftrightarrow a.1^{-n+1} + C_3.1^{-n} = 0$
$\Leftrightarrow C_3 = - a$
Vậy phương trình có nghiệm là:
$y = ax^{-n}(x -1)$
Bài 5.2:
1) $D = \{(x;y): 0\leqslant x \leqslant 1; 0 \leqslant y \leqslant x\}$
$\Rightarrow D =\{(y;x): 0\leqslant y \leqslant; y\leqslant x \leqslant 1\}$
Ta được:
$\quad I =\displaystyle\int\limits_0^1dy\displaystyle\int\limits_y^1f(x,y)dx$
3) $D =\{(x;y): 0 \leqslant x \leqslant 1; 0 \leqslant y \leqslant x^3\}$
$\Rightarrow D =\{(y;x): 0 \leqslant y \leqslant 1; 0 \leqslant x \leqslant \sqrt[3]{y}\}$
Ta được:
$I = \displaystyle\int\limits_0^1dy\displaystyle\int\limits_0^{\sqrt[3]{y}}f(x,y)dx$
5) $D =\{ (x;y): 0 \leqslant x \leqslant 2; x^2 \leqslant y \leqslant 2x\}$
$\Rightarrow D =\left\{(y;x): 0 \leqslant y \leqslant 4; \sqrt y \leqslant x \leqslant \dfrac y2\right\}$
Ta được:
$I = \displaystyle\int\limits_0^4dy\displaystyle\int\limits_{\sqrt y}^{\tfrac y2}f(x,y)dx$
