Giải thích các bước giải:
$A=\sqrt[]{x^2-xy+y^2}+\sqrt[]{y^2-yz+z^2}+\sqrt[]{z^2-xz+x^2}$
Ta cần tìm $m,n>0$ để: $x^2-xy+y^2 =m(x+y)^2+n(x-y)^2$
$⇔x^2-xy+y^2=(m+n)x^2+2(m-n)xy+(m+n)y^2$
Đồng nhất:
$\left \{ {{m+n=1} \atop {m-n=-\frac{1}{2} }} \right. ⇔ \left \{ {{m=\frac{1}{4} } \atop {n=\frac{3}{4}}} \right.$
$⇒x^2-xy+y^2 =\frac{1}{4}(x+y)^2+\frac{3}{4}(x-y)^2 \ge \frac{1}{4}(x+y)^2 $
Vậy ta đánh giá được: $\sqrt[]{x^2-xy+y^2} \ge \frac{x+y}{2} $ $(1)$
Tương tự, Ta có:
$⇒\sqrt[]{y^2-yz+z^2} \ge \frac{y+z}{2} $ $(2)$
$⇒\sqrt[]{z^2-xz+x^2} \ge \frac{z+X}{2} $ $(3)$
Thực hiện cộng các vế trên lại với nhau, $(1)+(2)+(3)$:
$⇒\sqrt[]{x^2-xy+y^2}+\sqrt[]{y^2-yz+z^2}+\sqrt[]{z^2-xz+x^2} \ge x+y+z =3$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=3$ . Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=1$
