Bài toán $IMO\ 1992$, đúng cả khi $f:\Bbb R \mapsto \Bbb R$

$\quad f(m^2 + f(n))= (f(m))^2+ n\qquad (1)$

+) Nếu $n_1 = n_2$ thì $f(n_1)= f(n_2)$

$\Rightarrow f(m^2 + f(n_1))= f(m^2 + f(n_2))$

$\Rightarrow f(m^2) + n_1= f(m^2) + n_2$

Do đó $f$ đơn ánh

+) Do vế phải là hàm bậc nhất theo biến $n$

nên $f$ có $TGT\ T =\Bbb R$

Do đó $f$ toàn ánh

Vì $f$ vừa đơn ánh, vừa toàn ánh

nên $f$ song ánh

+) Do $f$ song ánh nên tồn tại duy nhất $a$ sao cho $f(a)= 0$

Thay $m =0$ vào $(1):$

$\quad f(f(n))= (f(0))^2 + n$

Thay $m = n= a$ vào $(1):$

$\quad f(a^2+ f(a))= (f(a))^2 + a$

$\Leftrightarrow f(a^2) = a$

$\Leftrightarrow f(f(a^2))= f(a)$

$\Leftrightarrow (f(0))^2 + a^2 = 0$

$\Leftrightarrow f(0)= a = 0$

+) Do đó ta được:

$\begin{cases}f(f(m))= m\\f(m^2)= (f(m))^2\end{cases}\qquad (2)$

+) Từ đó ta được:

Nếu $m\geqslant 0$ thì $f(m)\geqslant 0$

Và $f(m)= 0 \Leftrightarrow m= 0$

+) Chọn $m\geqslant 0;\ n\in\Bbb R$ ta được:

$\quad f(m+n)= f\left(\left(\sqrt m\right)^2 + f(f(n))\right)$

$= \left(f\left(\sqrt m\right)\right)^2 + f(n)$

$= f\left(\sqrt{m^2}\right) + f(n)$

$= f(m)+ f(n)$

+) Thay $n= - m$ ta được:

$\quad f(0) = f(m) + f(-m)$

$\Leftrightarrow f(-m)= - f(m)$

Do đó $f$ là hàm lẻ

+) Khi đó, khi $m< 0;\ n\in\Bbb R$ ta được:

$\quad f(m + n)= f(-(-m - n))$

$= - f(-m- n)= - (f(-m) + f(-n))$

$= f(m) + f(n)$

+) Từ đó ta được:

$\quad f(m+n)= f(m) + f(n)\quad \forall m;n\in \Bbb R$

+) Với $m > n$ ta có:

$\quad m-n > 0$

$\Leftrightarrow f(m-n) > 0$

Khi đó:

$\quad f(m)= f((m-n) + y)$

$= f(m-n) + f(n) > f(n)$

Do đó $f$ đơn điệu tăng

+) Từ nhữngng điều trên:

$\quad f$ có dạng: $f(m)= am$

Thay vào $(2)$ ta được:

$\begin{cases}f(am)= m\\f(m^2)= a^2m^2\end{cases}$

Chọn $m= 1$, ta được:

$\begin{cases}f(a)= 1\\f(1)= a^2\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}f(a)= 1\\f(f(1))= f(a^2)\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}f(a)= 1\\f(a^2) = 1\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}f(a)= 1\\f(f(a^2)) = f(1)\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}f(a)= 1\\ f(1)= a^2\end{cases}$

Ta được $a = 1$

Vậy $f(m)= m\quad \forall x\in\Bbb R$