Đáp án:
$a)\quad (Q_1;Q_2) = \left(\dfrac{200}{3};\dfrac{920}{3}\right)$
$\qquad \left(P_1;P_2\right) = \left(\dfrac{4160}{3};2040\right)$
$b)\quad MC_{Q_1} = \dfrac{3040}{3}$
$\qquad MC_{Q_2} = 1360$
Giải thích các bước giải:
$\quad Q_{1} = 800 - 2P_1 + P_2$
$\quad Q_{2} = 960 + P_1 - P_2$
$\Rightarrow \begin{cases}P_1 = 1760 - Q_1 - Q_2\\P_2 = 2720 - Q_1 - 2Q_2\end{cases}$
$\quad TC = 3Q_1^2 + 2Q_2^2 + 2Q_1Q_2 + 300$
a) Doanh thu:
$\quad TR = P_1Q_1 + P_2Q_2$
$\Leftrightarrow TR = Q_1(1760 - Q_1 - Q_2) + Q_2(2720 - Q_1 - 2Q_2)$
$\Leftrightarrow TR = - Q_1^2 + 1760Q_1 - 2Q_1Q_2 + 2720Q_2 - 2Q_2^2$
Lợi nhuận:
$\quad \Pi = TR - TC$
$\Leftrightarrow \Pi = - Q_1^2 + 1760Q_1 - 2Q_1Q_2 + 2720Q_2 - 2Q_2^2 - (3Q_1^2 + 2Q_2^2 + 2Q_1Q_2 + 300)$
$\Leftrightarrow \Pi = - 4Q_1^2 + 1760Q_1 - 4Q_1Q_2 + 2720Q_2 - 4Q_2^2 + 300$
Tối đa hoá lợi nhuận
$\Leftrightarrow \Pi_{\max}$
Toạ độ điểm dừng là nghiệm của hệ:
$\quad \begin{cases}\Pi_{Q_1}' = 0\\\Pi_{Q_2}' = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} - 8Q_1 + 1760 - 4Q_2 = 0\\- 8Q_2 + 2720 - 4Q_1 = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}Q_1 = \dfrac{200}{3}\\Q_2 =\dfrac{920}{3}\end{cases}$
Xét $\begin{cases}A = \Pi_{Q_1Q_1}'' = -8 < 0\\B = \Pi_{Q_1Q_2}'' = - 4\\C =\Pi_{Q_2Q_2}'' = - 8\end{cases}$
$\Rightarrow B^2 - AC = - 48 < 0$
Vậy tại điểm dừng $(Q_1;Q_2) = \left(\dfrac{200}{3};\dfrac{920}{3}\right)$ lợi nhuận đạt tối đa
Khi đó: $\left(P_1;P_2\right) = \left(\dfrac{4160}{3};2040\right)$
b) Ta có:
$MC_{Q_1} = TC_{Q_1}' = 6Q_1 + 2Q_2$
$MC_{Q_2} = TC_{Q_2}' = 4Q_2 + 2Q_1$
Tại mức sản lượng tối ưu $(Q_1;Q_2) = \left(\dfrac{200}{3};\dfrac{920}{3}\right)$ ta được:
$MC_{Q_1} = 6\cdot \dfrac{200}{3} + 2\cdot \dfrac{920}{3} = \dfrac{3040}{3}$
$MC_{Q_2} = 4\cdot \dfrac{920}{3} + 2\cdot \dfrac{200}{3} = 1360$
