Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - 3x + 1 = x + m \Leftrightarrow {x^2} - 4x - m + 1 = 0\)
a) Để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 4 - \left( { - m + 1} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow m + 3 > 0 \Leftrightarrow m > - 3\)
b) Để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về bên phải trục \(Oy\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt dương
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 4 - \left( { - m + 1} \right) > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 3 > 0\\4 > 0\\ - m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 3\\m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 < m < 1\)
c) Với \(m > - 3\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = - m + 1\end{array} \right.\)
Khi đó \(x_1^2 + x_2^2 = 10 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\) \( \Leftrightarrow {4^2} - 2.\left( { - m + 1} \right) = 10\)
\( \Leftrightarrow 16 + 2m - 2 = 10 \Leftrightarrow 2m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = - 2\left( {TM} \right)\)
Vậy \(m = - 2\).
