Đáp án:
a) $BC=20cm$
b) $MN = 5\sqrt 3 cm$
Giải thích các bước giải:
Kẻ $DE\bot AB=E; CF\bot AB=F$
a) Ta có:
$DE//CF;CD//EF\to DCFE$ là hình bình hành.
Mà $\widehat {DEF} = {90^0}\to DCFE$ là hình chữ nhật.
$\to DE=CF; EF=CD=10cm$
Lại có:
$ABCD$ là hình thang cân $\to AD=BC$ và $\widehat {DAE} = \widehat {CBF}$
Khi đó:
$\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {DEA} = \widehat {CFB}\left( { = {{90}^0}} \right)\\
AD = BC\\
DE = CF
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \Delta DEA = \Delta CFB\left( {ch - cgv} \right)\\
\Rightarrow AE = BF\\
\Rightarrow AE = BF = \dfrac{{AB - EF}}{2} = \dfrac{{30 - 10}}{2} = 10cm
\end{array}$
Xét $\Delta BFC;\widehat {BFC} = {90^0};BF = 10cm;\widehat {CBF} = {60^0}\left( { = \widehat {DAE}} \right)$
$ \Rightarrow BC = \dfrac{{BF}}{{\cos \widehat {CBF}}} = \dfrac{{10}}{{\cos {{60}^0}}} = 20cm$
Vậy $BC=20cm$
b) Ta có:
$M$ là trung điểm của $AB$ $\to AM=BM$ mà $AE=BF\to AM-AE=BM-BF \to EM=MF$ $\to M$ là trung điểm của $EF$
$DCFE$ là hình chữ nhật và $M,N$ lần lượt là trung điểm của $EF,CD$
$\to MN//CF; MN=CF$
Lại có:
$\begin{array}{l}
\Delta BFC;\widehat {BFC} = {90^0};BF = 10cm;\widehat {CBF} = {60^0}\left( { = \widehat {DAE}} \right)\\
\Rightarrow CF = BF.\tan \widehat {CBF} = 10.\tan {60^0} = 5\sqrt 3 cm\\
\Rightarrow MN = 5\sqrt 3 cm
\end{array}$
Vậy $MN = 5\sqrt 3 cm$
