a) Có: ABCD là hình thang vuông có hai đáy AB và CD (gt) nên:
⇒ AB//CD (Tính chất hình thang vuông) hay AB//DE
Góc BAD = Góc ADC = 90 độ
Có: E là trung điểm của DC (gt) nên:
⇒ DE = EC = $\frac{DC}{2}$
Mà AB = $\frac{DC}{2}$ (gt)
⇒ DE = EC = AB
Xét tứ giác ABED, có:
AB//DE (cmt)
AB = DE (cmt)
⇒ Tứ giác ABED là hình bình hành (dhnb)
Xét hình bình hành ABED có:
Góc BAD = 90 độ (cmt)
⇒ ABED là hình chữ nhật (dhnb)
b) Kẻ đoạn KF
Xét tam giác HDC, có:
K là trung điểm của DH (gt)
F là trung điểm của HC (gt)
⇒ KF là đường trung bình trong tam giác HDC (dhnb)
⇒ KF//DC (Tính chất đường trung bình trong tam giác)
KF = $\frac{DC}{2}$ (Tính chất đường trung bình trong tam giác)
Có: KF//DC (cmt)
AB//CD (cma)
⇒ KF//AB (Quan hệ từ vuông góc đến song song)
Có: KF = $\frac{DC}{2}$ (cmt)
AB = $\frac{DC}{2}$ (gt)
⇒ KF = AB
Xét tứ giác ABFK, có:
KF = AB (cmt)
KF//AB (cmt)
⇒ Tứ giác ABFK là hình bình hành (dhnb)
⇒ AK = BF (Tính chất hình bình hành)
c) Có: KF//CD (cmb)
CD⊥AD tại D (Góc ADC = 90 độ)
⇒ KF⊥AD (Quan hệ từ vuông góc đến song song) ⇒ KF là đường cao của tam giác ADF
Xét tam giác ADF, có:
KF là đường cao (cmt)
DH là đường cao (DH⊥AC hay DH⊥AF(
KF cắt DH tại K
⇒ K là trực tâm của tam giác ADF
⇒ AK là đường cao
⇒ AK⊥DF
Mà AK//BF (ABFK là hình bình hành)
⇒ DF⊥BF tại F
⇒ Góc BFD = 90 độ
⇒ Tam giác BFD vuông tại F
Có: Tam giác BFD vuông tại F
IF là đường trung tuyến trong tam giác BFD (I là trung điểm của BD)
⇒ IF = $\frac{BD}{2}$ (đpcm)
