a) Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12 \, cm$

Ta được:

$\begin{cases}\sin B = \cos C = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}\\
\cos B = \sin C = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}\\
\tan B = \cot C = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}\\
\tan C= \cot B = \dfrac{1}{\tan B} = \dfrac{1}{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{3}{4}\end{cases}$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$AH.BC = AB.AC = 2S_{ABC}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{9.12}{15} = \dfrac{36}{5} \, cm$

$AC^2 = HC.BC$

$\Rightarrow HC = \dfrac{AC^2}{BC} = \dfrac{12^2}{15} = \dfrac{48}{5} \, cm$

c) Xét tứ giác $AEHF$ có:

$\widehat{AEH} = 90^o \, (HE\perp AB)$

$\widehat{AFH} = 90^o \, (HF\perp AC)$

$\widehat{A} = 90^o \, (gt)$

Do đó $AEHF$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow EF = AH$

$\Rightarrow HE^2 + HF^2 = EF^2 = AH^2$ (Theo định lý Pytago)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$AE.BE = HE^2$

$AF.CF = HF^2$

$\Rightarrow AE.BE + AF.CF = HE^2 +HF^2 = EF^2 = AH^2$

d) Ta có:

$I$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$ $(gt)$

$\Rightarrow IA = IB = IC$

$\Rightarrow ΔIAC$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IAC} = \widehat{ICA}$

hay $\widehat{IAF} = \widehat{ACB}$

Ta lại có: $AEHF$ là hình chữ nhật (Chứng minh ở câu c)

$\Rightarrow \widehat{AFE} = \widehat{AHE}$

mà $\widehat{AHE} = \widehat{ABH}$ (cùng phụ $\widehat{BHE}$)

nên $\widehat{AFE} = \widehat{ABH}$

hay $\widehat{AFE} = \widehat{ABC}$

Ta được:

$\widehat{IAF} + \widehat{AFE} = \widehat{ACB} + \widehat{ABC} = 90^o$

Do đó $AI\perp EF$