Bài 6:
Ta cần chứng minh $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{4}{x+y}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy}\ge \dfrac{4}{x+y}\\ \Leftrightarrow (x+y)^2\ge 4xy$ $\Leftrightarrow (x-y)^2\ge 0(\text{luôn đúng})$
Áp dụng vào bài toán ta có:
$P\ge \dfrac{y^2+z^2}{x^2}+\dfrac{4x^2}{y^2+z^2}+2016\\ \Leftrightarrow P\ge \dfrac{y^2+z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{y^2+z^2}+\dfrac{3x^2}{y^2+z^2}+2016$
Áp dụng BĐT Cauchy và $x^2\ge y^2+z^2$ ta có:
$P\ge 2\sqrt{\dfrac{x^2}{y^2+z^2}.\dfrac{y^2+z^2}{x^2}}+\dfrac{3(y^2+z^2)}{y^2+z^2}+2016\\ \Leftrightarrow P\ge 2.\sqrt{1}+3+2016=2021$
Vậy $P_{min}=2021$ khi $\begin{cases} x^2=y^2+z^2\\ y^2=z^2 \end{cases}\Leftrightarrow x=\sqrt{2}y=\sqrt{2}z$
