Lời giải:

a) Xét $\triangle ABC$ có:

$BD\perp AC$

$CE\perp AB$

$BD$ cắt $CE$ tại $H$

$\Rightarrow H$ là trực tâm của $\triangle ABC$

$\Rightarrow AH$ là đường cao

$\Rightarrow AH\perp BC$

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ có:

$\begin{cases}\widehat{A}:\ \text{góc chung}\\\widehat{D} = \widehat{E} = 90^\circ\end{cases}$

Do đó: $\triangle ABD\backsim \triangle ACE\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AB}{AC}$

$\Rightarrow \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$

$\Rightarrow ED//BC$ (định lý $Thales$ đảo)

mà $AH\perp BC\quad (cmt)$

nên $AH\perp DE$

b) Xét $\triangle ABC$ cân tại $A$ có:

$K$ là trung điểm cạnh đáy $BC$

$\Rightarrow AK\perp BC$

Ta lại có: $AH\perp BC$ (câu a)

nên $A,H,K$ thẳng hàng

$\Rightarrow I\in AK$

Xét $\triangle BCD$ vuông tại $D$ có:

$K$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow KD = KB = KC = \dfrac12BC$

$\Rightarrow \triangle KBD$ cân tại $K$

$\Rightarrow \widehat{KDB} = \widehat{KBD}$

mà $\widehat{KBD} = \widehat{KAC} = \widehat{IAD}$

nên $\widehat{KDB} = \widehat{IAD}\qquad (1)$

Mặt khác:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $AH$ của $\triangle ADH$

$\Rightarrow IA = ID = IH = \dfrac12AH$

$\Rightarrow \triangle IAD$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IAD} = \widehat{IDA}\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow \widehat{KDB} = \widehat{IDA}$

Ta lại có:

$\widehat{IDA} + \widehat{IDB} = \widehat{ADB} = 90^\circ\quad (BD\perp AC)$

Do đó:

$\widehat{KDB} + \widehat{IDB} = 90^\circ$

$\Leftrightarrow \widehat{IDK} = 90^\circ$

hay $DI\perp DK$