Đáp án:
\[A\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
y = f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\\
\Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{\left( {x - 1} \right)'.\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)'.\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{1.\left( {x + 2} \right) - 1.\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}
\end{array}\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = a\) là:
\(y = f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)\)
Hệ số góc của tiếp tuyến trên là \(f'\left( a \right)\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 2 điểm M, N song song với đường thẳng \(y = 3x + 15\) nên hệ số góc của 2 tiếp tuyến này đều bằng 3.
Do đó,
\(\begin{array}{l}
f'\left( {{x_M}} \right) = f'\left( {{x_N}} \right) = 3\\
\Rightarrow \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = - 3
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = - 1\\
{x_N} = - 3
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_M} = - 2\\
{y_N} = 4
\end{array} \right. \Rightarrow {y_M} + {y_N} = 2
\end{array}\)
Vậy đáp án đúng là \(A\)
