Xét tam giác ADC có:
AQ=QD (Q trung điểm AD)
DP=PC (P trung điểm DC)
=> QP là đường trung bình tam giác ADC ()
=> QP//AC;QP=12AC12AC(1)
Xét tam giác ABC có:
AM=MB (M là trung điểm AB)
BN=NC (N là trung điểm BC)
=> MN là đường trung bình tam giác ABC (đn đường trung bình tam giác)
=> MN//AC;MN=12AC12AC(2)
Từ (1) và (2)=> MN//QP (cùng //AC); MN=QP (=12AC12AC)
=> Tứ giác MNPQ là hình bình hành (dhnbhbh)
=> QN cắt PM tại O (*)
Xét tam giác ADB có:
DQ=QA (Q là trung điểm AD)
DK=KB (K là trung điểm DB)
=> QK là đường trung bình tam giác ADB (đn đường trung bình tam giác)
=> QK//AB,QK=12AB12AB(3)
Xét tam giác ABC có:
IA=IC (I là trung điểm AC)
CN=NB (N là trung điểm CB)
=> IN là đường trung bình tam giác ABC (đn đường trung bình tam giác)
=> IN//AB;IN=12AB12AB(4)
Từ (3) và (4) => IN//QK (cùng //AB);IN=QK (=12AB12AB)
=> Tứ giác QKNI là hình bình hành (dhnbhbh)
=> QN cắt IK tại O (**)
Từ (*) và (**)=> QN cắt PM cắt KI tại O
=> QN,PM,IK đồng quy tại O (đpcm)
