Giải thích các bước giải + Đáp án:
1/ $\text{Ta có: $\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^0$}$
$\text{⇒ Tứ giác OBAC là tứ giác nội tiếp}$
$\text{⇒ O, B, A, C thuộc 1 đường tròn}$ $(1)$
$\text{Mặt khác: I trung điểm dây MN}$
$\text{⇒ $OI ⊥ MN$ (tính chất)}$
$\text{Hay $\widehat{OIA}=90^0$}$
$\text{⇒ Tứ giác OIBA là tứ giác nội tiếp}$
$\text{⇒ O, I, B, A thuộc 1 đường tròn}$ $(2)$
$\text{Từ (1) và (2) suy ra A, B, I, O, C cùng nằm trên một đường tròn}$
2/ $\text{Ta có: $\widehat{NIE}=\widehat{BIA}$ (đối đỉnh)}$
$\text{Mà $\widehat{BIA}=\widehat{BCA}$ (cùng chắn cung AB)}$
$\text{nên $\widehat{NIE}=\widehat{BCA}$}$
$\text{Mặt khác: $\widehat{BCA}=\widehat{BEC}$ (cùng chắn cung BC)}$
$⇒ \widehat{NIE}=\widehat{BEC}$
$\text{và ở vị trí so le trong}$
$⇒ MN//EC$
3/ $\text{Ta có: $MN//EC$}$
$⇒ \widehat{AIC}=\widehat{ECI}$ $(slt)$
$\widehat{AIC}=\widehat{AIB}$ $\text{(chắn cung AC và AB bằng nhau)}$
$\widehat{AIB}=\widehat{EIN}$ $\text{(đối đỉnh)}$
$\widehat{EIN}=\widehat{IEC}$ $(slt)$
$⇒ \widehat{AIC}=\widehat{ECI}=\widehat{AIB}=\widehat{EIN}=\widehat{IEC}$
$\text{và ΔIEC cân tại I}$
$⇒ IE=IC$
$\text{Xét ΔIEN và ΔICM}$
$\text{Có: IE=IC}$
$\widehat{EIN}=\widehat{AIC}$
$IN=IM$
$⇒ ΔIEN = ΔICM$ $(c.g.c)$
$⇒ NE=MC$
$\text{⇒ Trong đường tròn (O): sđ cung NE= sđ cung MC}$
$\text{⇒ sđ cung NC=sđ cung ME}$
$⇒ \widehat{NMC}=\widehat{MBE}$
$\text{Xét ΔMIB và ΔCIM}$
$\text{Có: $\widehat{MBE}=\widehat{NMC}$}$
$\widehat{MIB}=\widehat{MIC}$
$\text{(chắn cung AB và cung AC bằng nhau; I, B, A, C thuộc 1 đường tròn)}$
$\text{⇒ ΔMIB đồng dạng ΔCIM}$
$⇒ \dfrac{MI}{IB}=\dfrac{IC}{MI}$
$⇒ MI^2=BI.CI$ $(đpcm)$
