Từ hệ phương trình ta tính được giá trị :
$x = \dfrac{m+2}{m^2+1}, y = \dfrac{2m-1}{m^2+1}$
a) Để hệ có nghiệm $(x,y)$ thỏa mãn $x>0$ và $y<0$ thì :
$⇒\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m+2}{m^2+1} >0\\\dfrac{2m-1}{m^2+1} < 0 \end{array} \right.$
$⇒\left\{ \begin{array}{l}m+2>0\\2m-1<0 \end{array} \right.$
$⇒\left\{ \begin{array}{l}m>-2\\m<\dfrac{1}{2} \end{array} \right.$
$⇒ -2<m<\dfrac{1}{2}$. Mà $m$ nhận giá trị nguyên
$⇒ m \in \big\{-1,0\big\}$
b) Ta có : $x - y = \dfrac{m+2}{m^2+1} - \dfrac{2m-1}{m^2+1}$
$ =\dfrac{m+2}{m^2+1} - \dfrac{(m+2) + m-3}{m^2+1}$
$ = \dfrac{m+2}{m^2+1} - \dfrac{m+2}{m^2+1} - \dfrac{m-3}{m^2+1}$
$ = \dfrac{3-m}{m^2+1}$
Đặt $ k = \dfrac{3-m}{m^2+1}$
$\to k.(m^2+1) = 3-m$
$⇔ m^2.k + k - 3+m = 0 $
$⇔m^2.k + m + (k-3) = 0 $
Xét $Δ = 1^2-4.(k-3).k$
$ = 1-4k^2+12k$
Để pt đã cho có nghiệm thì : $Δ ≥ 0 $
Tức là $1-4k^2+12k ≥ 0 $
$⇔ \dfrac{3-\sqrt[]{10}}{2} ≤ k ≤ \dfrac{3+\sqrt[]{10}}{2}$
Do đó GTLN của $x-y$ là $\dfrac{3-\sqrt[]{10}}{2}$
