Câu 1:
$+)\quad f(x)= \dfrac{1}{1+\sin^2x}$
$\Rightarrow f(0)= 1$
$+)\quad f'(x)=-\dfrac{\sin2x}{(1+\sin^2x)^3}$
$\Rightarrow f'(0)= 0$
$+)\quad f''(x)=\dfrac{24\cos6x + 4\cos4x - 12}{(\cos2x -3)^3}$
$\Rightarrow f''(0)= -2$
$+)\quad f'''(x)=\dfrac{436\sin6x - 96\sin4x - 92\sin2x}{(cos2x -3)^4}$
$\Rightarrow f'''(0)= 0$
$+)\quad f^{(4)}(x)= -\dfrac{4(6\cos2x - 1120\cos4x + 1914\cos6x + 109\cos8x +115)}{(\cos2x -3)^5}$
$\Rightarrow f^{(4)}(0)= 128$
$+)\quad f^{(5)}(x)= -\dfrac{8\sin2x(- 22284\cos2x +30220\cos4x +6444\cos6x + 109\cos8x+19623)}{(\cos2x -3)^6}$
$\Rightarrow f^{(5)}(0)=0$
Ta được:
$\dfrac{1}{1+\sin^2x}= 1 - x +\dfrac{16}{3}x^4 + o(x^5)$
Câu 9:
$\quad I= \displaystyle\iint\limits_Dx^2dxdy$
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\quad x^2 = 2x$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}\right.$
Miền $D:$
$D =\{(x,y):0\leqslant x \leqslant 2; x^2 \leqslant y \leqslant 2x\}$
Ta được:
$\quad I=\displaystyle\int\limits_0^2dx\displaystyle\int\limits_{x^2}^{2x}x^2dy$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^2\left(x^2y\Bigg|_{x^2}^{2x}\right)dx$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^2(2x^3 - x^4)dx$
$\Leftrightarrow I = \left(\dfrac{x^4}{2} - \dfrac{x^5}{5}\right)\Bigg|_0^2$
$\Leftrightarrow I = \dfrac85$
Câu 10:
$\quad y' + \dfrac{y}{x+1}= e^x\quad (*)$
Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:
$\quad y = C.e^{\displaystyle\int-\dfrac{1}{x+1}dx}$
$\Leftrightarrow y = C.e^{-\ln(x+1)}$
$\Leftrightarrow y = C\cdot \dfrac{1}{x+1}$
Do đó nghiệm tổng quát của $(*)$ có dạng:
$\quad y = C(x)\cdot \dfrac{1}{x+1}$
$\Rightarrow y' = C'(x)\cdot\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{(x+1)^2}\cdot C(x)$
Thay vào $(*)$ ta được:
$\quad C'(x)\cdot\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{(x+1)^2}\cdot C(x) + \dfrac{1}{x+1}\cdot C(x)\cdot \dfrac{1}{x+1} = e^{x}$
$\Leftrightarrow C'(x)= e^x(x+1)$
$\Leftrightarrow C(x)= xe^x + C_1$
Vậy phương trình có nghiệm: $y = \dfrac{xe^x}{x+1} + \dfrac{C_1}{x+1}$
