Lời giải.
`a)` Gọi `O` là trung điểm của hai đường chéo `AC, BD` trong hình vuông
Ta có theo tính chất hình vuông thì:
`O` là trung điểm của `AC` và `BD`
`AC=BD`
`=> OA=OB=OC=OD`
`=>O` cách đều các đỉnh của hình vuông một khoảng bằng nhau không đổi
Theo định nghĩa về đường tròn suy ra `A,B,C,D` cùng thuộc một đường tròn
Vậy `A,B,C,D` cùng thuộc một đường tròn.
`b)` Vì `O` cách đều các đỉnh của hình vuông một khoảng bằng nhau không đổi
và `OA=OB=OC=OD`
suy ra `OA,OB,OC,OD` chính là các bán kính của đường tròn
Gọi `E ` là trung điểm của cạnh `AB`
`=> AE=EB= 1/2 . AB = 1/2 . 8= 4(cm)`
Vì `ABCD` là hình vuông `=>AC⊥BD` (tính chất đường chéo trong hình vuông)
`=>ΔOAB` cân tại `O`. Lại có `OE` là trung tuyến
`=>OE=1/2. AB = 1/2 . 8 = 4(cm)`
Giải thích thêm ở đây ta áp dụng định lý:
Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Ta có: `OA=OB` suy ra tam giác `OAB` cân tại `O`
`=>` trung tuyến `OE` đồng thời là đường cao của tam giác `OAB` hay `OE⊥AB`
Xét tam giác `BOE` vuông tại `E` có:
`BE^2+OE^2=OB^2`
Thay số: `4^2+4^2=OB^2`
`=> 16+16=OB^2`
`<=> 32=OB^2`
`=>OB=\sqrt{32}=\sqrt{16.2}= 4\sqrt{2}`
Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông `ABCD` là `4\sqrt{2} cm.`
Hình vẽ (mang tính chất minh họa)
