Ta có:
$y'=\dfrac{m^2+6}{(2x+1)^2}$
Do $m^2+6>0$ nên $y'>0$, $∀m∈R$
$→$ Hàm số đã cho đồng biến trên $(-∞;\dfrac{-1}{2})$ và $(\dfrac{-1}{2};+∞)$
$→$ GTLN trên $[1;2]$ là $y(2)=3$
$↔ \dfrac{2m^2-3}{5}=3$
$↔ 2m^2-3=15$
$↔ 2m^2=18$
$↔ m^2=9$
$↔ m=±3$
Vậy $m=±3$ là giá trị cần tìm.