a/ Xét $ΔABC$:
$M,N$ là trung điểm $AB,BC$ (gt)
$→MN$ là đường trung bình $ΔABC$
$→MN//AC$
Xét tứ giác $AMNC$:
$MN//AC(cmt)$
$\widehat A=90^\circ$ ($ΔABC$ vuông tại $A$)
$→AMNC$ là hình thang vuông
Vậy tứ giác $AMNC$ là hình thang vuông
b/ $MN//AC$
$→MN//AP$
$NP//AB$
$→NP//AM$
Xét tứ giác $AMNP$:
$\begin{cases}MN//AP(cmt)\\NP//AM(cmt)\end{cases}$
$→AMNP$ là hình bình hành
mà $\widehat A=90^\circ$ ($ΔABC$ vuông tại $A$)
$→AMNP$ là hình chữ nhật
Vậy tứ giác $AMNP$ là hình chữ nhật
c/ Xét $ΔABC$:
$NP//AC(gt)$
mà $N$ là trung điểm $BC$
$→NP$ là đường trung bình $ΔABC$
$→\begin{cases}NP//AB\\NP=\dfrac{AB}{2}\end{cases}$
mà $M$ là trung điểm $AB$
$→\begin{cases}NP//BM\\NP=BM\end{cases}$
Xét tứ giác $BMPN$:
$\begin{cases}NP//BM\\NP=BM\end{cases}(cmt)$
$→BMPN$ là hình bình hành
mà $BP∩MN≡\{F\}$
$→F$ là trung điểm $BP$
Xét $ΔBMP$:
$F,Q$ là trung điểm $BP,MP$
$→FQ$ là đường trung bình $ΔBMP$
$→\begin{cases}FQ//BM\\FQ=\dfrac{BM}{2}\end{cases}$
mà $BM=AM$ ($M$ là trung điểm $AB$)
$→\begin{cases}FQ//AM\\FQ=\dfrac{AM}{2}\end{cases}$
$NP$ là đường trung bình $ΔABC$
$→P$ là trung điểm $AC$
$MN$ là đường trung bình $ΔABC$
$→\begin{cases}MN//AC\\MN=\dfrac{AC}{2}\end{cases}$
mà $P$ là trung điểm $AC$
$→\begin{cases}MN//PC\\MN=PC\end{cases}$
Xét tứ giác $MNCP$:
$\begin{cases}MN//PC\\MN=PC\end{cases}$
$→MNCP$ là hình bình hành
mà $CM∩NP≡\{E\}$
$→E$ là trung điểm $CM$
Xét $ΔACM$:
$E,P$ là trung điểm $CM,AC$
$→EP$ là đường trung bình $ΔACM$
$→\begin{cases}EP//AM\\EP=\dfrac{AM}{2}\end{cases}$
mà $\begin{cases}FQ//AM\\FQ=\dfrac{AM}{2}\end{cases}$
$→\begin{cases}EP//FQ\\EP=FQ\end{cases}$
Xét tứ giác $QFEP$:
$\begin{cases}EP//FQ\\EP=FQ\end{cases}(cmt)$
$→QFEP$ là hình bình hành
Vậy tứ giác $QFEP$ là hình bình hành
