a)$\begin{array}{l} a)2\sqrt {27}  - \sqrt {180}  - 3\sqrt {75}  + 4\sqrt {45} \\  = 2.\sqrt {{3^2}.3}  - \sqrt {{6^2}.5}  - 3\sqrt {{5^2}.3}  + 4\sqrt {{3^2}.5} \\  = 6\sqrt 3  - 6.\sqrt 5  - 15\sqrt 3  + 12\sqrt 5 \\  =  - 9\sqrt 3  + 6\sqrt 5  \end{array}$

b)

$\begin{array}{l} \dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt {20} }}{{\sqrt 3  - 2}} + \dfrac{4}{{2 - \sqrt 5 }}\\  = \dfrac{{\left( {\sqrt {15}  - \sqrt {20} } \right)\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}} + \dfrac{{4\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}}\\  = \dfrac{{\sqrt {45}  + 2\sqrt {15}  - \sqrt {60}  - 2\sqrt {20} }}{{3 - 2}} - \dfrac{{8 + 4\sqrt 5 }}{{5 - 4}}\\  = 3\sqrt 5  + 2\sqrt {15}  - 2\sqrt {15}  - 4\sqrt 5  - 8 - 4\sqrt 5 \\  =  - 8 - 3\sqrt 5  \end{array}$

c)

$\begin{array}{l} \sqrt {5 - \sqrt {21} } \left( {\sqrt 6  + \sqrt {14} } \right)\\  = \sqrt {10 - 2\sqrt {21} } \left( {\sqrt 3  + \sqrt 7 } \right)\\  = \sqrt {7 + 3 - 2\sqrt 7 .\sqrt 3 } \left( {\sqrt 3  + \sqrt 7 } \right)\\  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7  - \sqrt 3 } \right)}^2}} \left( {\sqrt 3  + \sqrt 7 } \right)\\  = \left( {\sqrt 7  - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 7  + \sqrt 3 } \right) = 7 - 3 = 4 \end{array}$

d)

$\begin{array}{l} \left( {\dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{x - 9}} - \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{x + 6\sqrt x  + 9}}} \right):\dfrac{2}{{x - 9}}\\  = \left[ {\dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)}^2}}}} \right].\dfrac{{x - 9}}{2}\\  = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{1}{{\sqrt x  + 3}}} \right).\dfrac{{x - 9}}{2}\\  = \dfrac{{\sqrt x  + 3 - \sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\dfrac{{x - 9}}{2} = \dfrac{6}{{x - 9}}.\dfrac{{x - 9}}{2}\\  = 3 \end{array}$