Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có BĐT phụ : Với `a , b ≥ 0 ; x , y > 0`
`=> a^2/x + b^2/y ≥ ( a + b )^2/( x + y )`
CM :
`a^2/x + b^2/y ≥ ( a + b )^2/( x + y )`
`<=> (a^2y)/(xy) + (b^2x)/(xy) ≥ ( a^2 + 2ab + b^2 )/( x + y )`
`<=> ( a^2y + b^2x )/(xy) ≥ ( a^2 + 2ab + b^2 )/( x + y )`
`<=> ( a^2y + b^2x )/(xy) . ( x + y ) ≥ ( a^2 + 2ab + b^2 )`
`<=> ( a^2y + b^2x )/(xy) . ( x + y ) ≥ ( a^2 + 2ab + b^2 )`
`<=> ( a^2y + b^2x ) . ( x + y ) ≥ ( a^2 + 2ab + b^2 ) . xy`
`<=> a^2xy + b^2x^2 + a^2y^2 + b^2xy ≥ a^2xy + 2abxy + b^2xy`
`<=> a^2xy + b^2x^2 + a^2y^2 + b^2xy - a^2xy - 2abxy - b^2xy ≥ 0`
`<=> b^2x^2 + a^2y^2 - 2abxy ≥ 0`
`<=> ( ay - bx )^2 ≥ 0` ( luôn đúng )`
Dấu `=` xảy ra khi `( ay - bx )^2 = 0`
`<=> ay - bx = 0`
`<=> ay = bx`
`=> a^2/x + b^2/y ≥ ( a + b )^2/( x + y )`
Áp dụng BĐT trên , ta có :
`a^2/b + b^2/c + c^2/a ≥ ( a + b )^2/( b + c ) + c^2/a`
`<=> `a^2/b + b^2/c + c^2/a ≥ ( a + b + c )^2/( a + b + c )`
`<=> `a^2/b + b^2/c + c^2/a ≥ a + b + c ( đpcm ) `
