Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O,\) các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) cắt \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(M,\,\,N,\,\,K.\) Tính \(\dfrac{{AM}}{{AD}} + \dfrac{{BN}}{{BE}} + \dfrac{{CK}}{{CF}}.\)
A.\(\dfrac{{11}}{3}\)
B.\(\dfrac{{17}}{6}\)
C.\(\dfrac{{25}}{6}\)
D.\(4\)

Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2cm,\) dây \(CD\) song song với \(AB\left( {C \in cun{g^{}}A{\rm{D}}} \right)\). Tính độ dài các cạnh của hình thang \(ABCD\) biết rằng chu vi của hình thang bằng \(5cm.\)
A.\(AC = BD = \dfrac{{4}}{3}\,\,cm,\,\,CD = \dfrac{{1}}{3}\,\,cm,\,\,AB = 2\,\,cm.\)
B.\(AC = BD = \dfrac{{2}}{3}\,\,cm,\,\,CD = \dfrac{{5}}{3}\,\,cm,\,\,AB = 2\,\,cm.\)
C.\(AC = BD = 1\,\,cm,\,\,CD = 1\,\,cm,\,\,AB = 2\,\,cm.\)
D.\(AC = BD = 1\,\,cm,\,\,CD = 1\,\,cm,\,\,AB = 3\,\,cm.\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 9\,\,cm,\,\,AC = 12\,\,cm.\) Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp, \(G\) là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài \(IG.\)
A.\(IG =1 \,\,cm\)
B.\(IG =2 \,\,cm\)
C.\(IG =\dfrac{{2}}{3} \,\,cm\)
D.\(IG =\dfrac{{4}}{5} \,\,cm\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp.
A.\(R = 22,5\,\,cm\).
B.\(R = 23\,\,cm\).
C.\(R = 24\,\,cm\).
D.\(R = 25\,\,cm\).

Bán kính đường tròn nội tiếp.
A.\( S= 14\,\,cm\).
B.\( S= 13\,\,cm\).
C.\( S= 12\,\,cm\).
D.\( S= 11\,\,cm\).

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AC,\,\,BC.\) Tính diện tích tứ giác \(CMHN.\)
A.\({S_{CMHN}} = \dfrac{{319}}{{19}}\,\,\,c{m^2}.\)
B.\({S_{CMHN}} = \dfrac{{216}}{{13}}\,\,\,c{m^2}.\)
C.\({S_{CMHN}} = \dfrac{{206}}{{11}}\,\,\,c{m^2}.\)
D.\({S_{CMHN}} = 17\,\,\,c{m^2}.\)

Tính độ dài \(HA,\,\,HB.\)
A.\(AH = 4\,\,\,\left( {cm} \right),\,\,BH = 9\,\,\,\left( {cm} \right).\)
B.\(AH = 4\,\,\,\left( {cm} \right),\,\,BH = 10\,\,\,\left( {cm} \right).\)
C.\(AH = 5\,\,\,\left( {cm} \right),\,\,BH = 10\,\,\,\left( {cm} \right).\)
D.\(AH = 5\,\,\,\left( {cm} \right),\,\,BH = 9\,\,\,\left( {cm} \right).\)

Cho đường tròn tâm \(O,\) dây \(AB = 24cm,\) dây \(AC = 20cm\) (\(\widehat {BAC} < {90^0}\) và điểm \(O\) nằm trong góc \(BAC\)). Gọi \(M\) là trung điểm \(AC.\) Khoảng cách từ \(M\) đến \(AB\) bằng \(8cm.\) Tính bán kính của đường tròn.
A.\(R = 8\,\,cm\).
B.\(R = 12,5\,\,cm\).
C.\(R = 14\,\,cm\).
D.\(R = 10,5\,\,cm\).

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(I\) là giao điểm các đường phân giác. Biết rằng \(IA = 2\sqrt 5 ,\,\,IB = 3.\) Tính \(AB.\)
A.\(6\)
B.\(3\sqrt {3} \).
C.\(2\sqrt {11} \).
D.\(3\sqrt {2} \).

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có độ dài đường cao kẻ từ \(A\) và \(B\) lần lượt là \(15,6cm\) và \(12cm.\) Tính độ dài cạnh \(BC.\)
A.\(13\,\,cm\)
B.\(12\,\,cm\)
C.\(14\,\,cm\)
D.\(10\,\,cm\)