a) Xét ΔPIM và ΔPIN có
PM=PN(do ΔMPN cân tại B)
MPIˆ=NPIˆ(do PI là tia phân giác của MPN^)
PI là cạnh chung
Do đó: ΔPIM=ΔPIN(c-g-c)
b)Ta có: ΔPIM=ΔPIN(cmt)
⇒MI=IN(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔIEM vuông tại E và ΔIFN vuông tại F có
MI=IN(cmt)
EMIˆ=FNIˆ(hai góc ở đáy của ΔPMN cân tại P)
Do đó: ΔIEM=ΔIFN(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒IE=IF(hai cạnh tương ứng)
c) Xét ΔIEK vuông tại E và ΔIFH vuông tại F có
EI=IF(cmt)
EIKˆ=FIHˆ(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔIEK=ΔIFH(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
⇒EK=FH(hai cạnh tương ứng)(1)
Ta có: EK=EM+MK(do E,M,K thẳng hàng)(2)
FH=FN+NH(do F,N,H thẳng hàng)(3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra EM+MK=FN+NH
mà EM=FN(ΔIEM=ΔIFN)
nên MK=NH
Ta có: PK=PM+MK(do P,M,K thẳng hàng)
PH=PN+NH(do P,N,H thẳng hàng)
mà PM=PN(do ΔPMN cân tại P)
và MK=NH(cmt)
nên PK=PH
Xét ΔPKH có PK=PH(cmt)
nên ΔPKH cân tại P(đ/n tam giác cân)
d) Xét ΔPEI vuông tại E và ΔPFI vuông tại F có
PI là cạnh chung
EPIˆ=FPIˆ (PI là tia phân giác của EPFˆ)
Do đó: ΔPEI=ΔPFI(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒PE=PF(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔPEF có PE=PF(cmt)
nên ΔPEF cân tại P(định nghĩa tam giác cân)
⇒PEFˆ=180độ−Pˆ/2(số đo một góc ở đáy của ΔPEF cân tại P)(4)
Ta có: ΔPKH cân tại P(cmt)
⇒PKHˆ=1800−Pˆ/2(số đo một góc ở đáy của ΔPKH cân tại P)(5)
Từ (4) và (5) suy ra PEFˆ=PKHˆ
mà PEFˆ và PKHˆ là hai góc ở vị trí đồng vị
nên EF//HK(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)(đpcm)
