Nghiệm của bất phương trình ${{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}\ge {{2}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}}}$là A. $x\in \mathbb{R}$ B. $x\in \varnothing $ C. $0<x<\frac{\pi }{2}$ D. $0<x<\pi $
Đáp án đúng: B Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{{2}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}}}\ge {{2}^{0}}+{{3}^{0}}=2\\{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}\le 2\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)=2\end{array} \right.\Rightarrow {{2}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}}}\ge {{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}$ Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=0\\\sin x=\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow x\in \varnothing $ Do đó dấu “=” không xảy ra $\Rightarrow {{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}<{{2}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}}},\forall x\in \mathbb{R}$ Đáp án B