Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
Gọi chiều cao của khối lăng trụ bể bơi là \(h\,\,\left( {h > 0} \right)\) ta có
\(V = S.h = \left( {5x.\dfrac{{3x}}{2} - \dfrac{{x.x}}{2} - \dfrac{{2x + x}}{2}} \right).h = \dfrac{{11{x^2}}}{2} \Leftrightarrow h = \dfrac{{2V}}{{11{x^2}}}\)
Diện tích xung quanh của bể bơi là
\(\begin{array}{l}{S_{xq}} = {S_{AIJE}} + {S_{IMPJ}} + {S_{MNPR}} + {S_{NOQR}} + {S_{OLKQ}} + {S_{BLKF}} + 2.{S_{MNIABLON}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{x}{2}.h + x\sqrt 2 .h + 2x.h + x\sqrt 2 .h + x.h + \dfrac{x}{2}.h + 2.\dfrac{{11{x^2}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {4 + 2\sqrt 2 } \right)x.h + 2.\dfrac{{11{x^2}}}{2} = \left( {4 + 2\sqrt 2 } \right)x.\dfrac{{2V}}{{11{x^2}}} + 11{x^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {4 + 2\sqrt 2 } \right).\dfrac{{2V}}{{11x}} + 11{x^2}\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số ta có
\({S_{xq}} = \dfrac{{\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right).V}}{{11x}} + \dfrac{{\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right).V}}{{11x}} + 11{x^2} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{{\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right)}^2}.{V^2}}}{{11}}}}\)
Vậy \(Min\,{S_{xq}} = 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{{\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right)}^2}.{V^2}}}{{11}}}}\) khi và chỉ khi
\(\dfrac{{\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right)V}}{{11x}} = 11{x^2} \Rightarrow {x^3} = \dfrac{{\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right)V}}{{121}} = 8 \Rightarrow x = 2\)
Chọn A.
