Đáp án: $\frac{3}{8}$ x − $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{2}$ $sin{2x}$+ $\frac{1}{8}$ . $\frac{1}{4}$ $sin{4x}$ +C
Giải thích các bước giải:
Ta có $ {sin^4 {x}}$ = $ ({sin^2 {x}})^2$=$(\frac{1-cos{2x}}{2})^2$ =$\frac{1-2cos{2x}+cos^2{2x}}{4}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}cos{2x}+\frac{1}{4}{cos^2{2x}}$
$\\$ = $\frac{1}{4}-\frac{1}{2}cos{2x}+\frac{1}{4}{(\frac{1+cos{4x}}{2})}$
= $\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos{2x}+\frac{1}{8}{{cos{4x}}}$
$\\$ Do đó $\int\limits {sin^4 {x}} \, dx$ = $\int\limits {(\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos{2x}+\frac{1}{8}{{cos{4x}}})} \, dx$
$\\$ = $\frac{3}{8}$$\int\limits {1} \, dx$− $\frac{1}{2}$$\int\limits {cos{2x}} \, dx$+ $\frac{1}{8}$$\int\limits {cos{4x}} \, dx$
$\\$ =$\frac{3}{8}$ x − $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{2}$ $sin{2x}$+ $\frac{1}{8}$ . $\frac{1}{4}$ $sin{4x}$ +C
$\\$ Dùng công thức $\int\limits {cos{(ax+b)}} \, dx$ =$\frac{1}{a}$ $sin{(ax+b)}$ +C
$\\$ và dùng công thức hạ bậc: $cos^2{x}$ =$\frac{1+cos{2x}}{2}$; $sin^2{x}$ =$\frac{1-cos{2x}}{2}$
