Nguyên hàm $\int{x\ln xdx}$bằng A. $\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x+\frac{1}{4}{{x}^{2}}+C.$ B. $\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+C.$ C. $\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x-\frac{1}{2}x+C.$ D. $\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x-\frac{1}{4}{{x}^{2}}+C.$
Đáp án đúng: D Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần với hàm lôgarit trên ta được: $\left\{ \begin{array}{l}u=\ln x\\dv=xdx\end{array} \right.<=>\left\{ \begin{array}{l}du=\frac{1}{x}dx\\v=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\end{array} \right..$ Ta có: $\begin{array}{l}\int{x\ln xdx}=\frac{{{x}^{2}}}{2}\ln x-\int{\frac{x}{2}dx}\\=\frac{{{x}^{2}}\ln x}{2}-\frac{{{x}^{2}}}{4}+C.\end{array}$