Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy) đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(18\pi \,d{m^3}\). Biết khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong nước. Tính thể tích nước còn lại trong bình
A.\(27\pi \,d{m^3}\)
B.\(6\pi \,d{m^3}\)
C.\(9\pi \,d{m^3}\)
D.\(24\pi \,d{m^3}\)

Xét các số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \({\log _3}\dfrac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4.\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = x + y.\)
A.\({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  - 4}}{3}\)
B.\({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  + 4}}{3}\)
C.\({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  + 4}}{9}\)
D.\({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  - 4}}{9}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f'\left( x \right) = 15{x^4} + 12x,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1.\) Giá trị của \({\left( {f\left( 1 \right)} \right)^2}\) là
A.\(10\)  
B.\(8\)
C.\(\frac{5}{2}\)  
D.\(\frac{9}{2}\)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( {3;1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( P \right)\) sao cho \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right|\) đạt gá trị nhỏ nhất. Tính \(S = 9a + 3b + 6c.\)
A.\(4\)
B.\(3\)
C.\(2\)
D.\(1\)

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ .\) Xác định góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD.\)
A.\(90^\circ \)
B.\(45^\circ \)
C.\(60^\circ \)
D.\(30^\circ \)

Cho một miếng tôn hình tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt \(OAB\) và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh \(O\) không có đáy (\(OA\) trùng với \(OB\)). Gọi \(S\) và \(S'\) lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại. tìm tỉ số \(\frac{{S'}}{S}\) để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất.
A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\
B.\(\frac{1}{4}\)
C.\(\frac{1}{3}\)
D.\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Cho các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1} \right| = 2\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(w = \left( {1 + i\sqrt 8 } \right)z + i\) là một đường tròn. Bán kính \(r\) của đường tròn đó là
A.\(9\)
B.\(36\)
C.\(6\)
D.\(3\)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\log ^2}\left| {\cos x} \right| - m\log {\cos ^2}x - {m^2} + 4 = 0\) vô nghiệm
A.\(m \in \left( {\sqrt 2 ;2} \right)\)
B.\(m \in \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)
C.\(m \in \left( { - \sqrt 2 ;2} \right)\)
D.\(m \in \left( { - 2;\sqrt 2 } \right)\)

Cho hình phẳng giói hạn bởi các đường \(y = \sqrt {\tan x} ;y = 0;x = 0;x = \frac{\pi }{4}\) quay xung quanh trục \(Ox.\) Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra.
A.\(\frac{{\pi \ln 2}}{2}\)
B.\(\frac{{\pi \ln 3}}{4}\)
C.\(\frac{\pi }{4}\)
D.\(\pi \ln 2\)

Trong mặt phẳng \(Oxy,\) gọi \(A,B,C\) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \({z_1} = - 3i;{z_2} = 2 - 2i;{z_3} = - 5 - i.\) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\) Khi đó điểm \(G\) biểu diễn số phức là
A.\(z =  - 1 - i\)
B.\(z =  - 1 - 2i\)
C.\(z = 1 - 2i\)
D. \(z = 2 - i\)