`\text{1)}`
Ta có :
`\hat{\text{BAE}} = \hat{\text{BAD}} + \hat{\text{DAE}} = 90^o + \hat{\text{DAE}}`
`\hat{\text{DAC}} = \hat{\text{CAE}} + \hat{\text{DAE}} = 90^o + \hat{\text{DAE}}`
`=> \hat{BAE} = \hat{DEC}`
Xét `\Delta \text{ABE}` và `\Delta \text{CAD}` có :
`\text{AE} = \text{AC} ( \text{gt} )`
`\hat{\text{BAE}} = \hat{\text{DEC}}`
`\text{AB} = \text{AD} ( \text{gt} )`
`=> \Delta \text{ABE} = \Delta \text{ADC} ( \text{c . g . c} )`
`=> \text{BE} = \text{CD} ( \text{2 cạnh tương ứng )`
`\text{2)}`
Trên tia đối của tia `\text{AM}` lấy điểm `\text{G}` sao cho `\text{AM} = \text{MG}` .
Xét `\Delta \text{MGD}` và `\Delta \text{MEA}` có :
`\text{MD} = \text{ME} ( \text{gt} )`
`\text{DMG} = \text{EAM} ( \text{ 2 góc đối đỉnh } )`
`\text{MA} = \text{MG} ( \text{cmt} )`
`=> \Delta MGD = \Delta MAE ( \text{ c . g . c } )`
`=> \Delta \text{MDG} = \Delta \text{MEA}`
`=> \text{DG} = \text{AE}`
Mà `\text{AE} = \text{AC} => \text{DG} = \text{AC}`
Do đây là `2` góc so le trong
`=>` ` \text{DG // AE} `
`=> \hat{\text{GDA}} + \hat{\text{DAE}} = 180^o ( \text{ 2 góc trong cùng phía } )`
Nhận thấy :
`\hat{\text{DAM}} ; \hat{\text{MAE}} ; \hat{\text{DAB}}; \hat{\text{EAC}}; \hat{\text{BAC}}` đều tạo thành `1` hình tròn nên tổng số đo của chúng là `360^o`
`=> \hat{\text{DAM}} + \hat{\text{MAE}} + \hat{\text{DAB}} +\hat{\text{EAC}} + \hat{\text{BAC}} = 360^o`
`=>\hat{\text{DAE}} + 90^o + 90^o + \hat{\text{BAC}} = 360^o`
`=> \hat{DAE} + \hat{\text{BAC}} = 360^o - 90^o - 90^o = 180^o`
`=> \hat{\text{GDA}} + \hat{\text{DAE}} = \hat{\text{DAE}} + \hat{\text{BAC} ( = 180^o )`
`=> \hat{\text{GDA}} = \hat{\text{BAC}}`
`-` Chứng minh tương tự `\Delta \text{ADM} = \Delta \text{BAC} ( \text{ c . g .c } )`
`=> \hat{\text{DAK}} = \hat{\text{CBA}} ( \text{ 2 góc tương ứng } )`
Ta lại có :
`\hat{\text{HAD}} + \hat{\text{DAK}} ( \text{ 2 góc kề bù } )`
`=> \hat{\text{HAB}} + \hat{\text{BAD}} + \hat{\text{DAK}} = 180^o`
`=> \hat{\text{HAB}} + 90^o + \hat{\text{DAK}} = 180^o`
`=> \hat{\text{HAB}} + \hat{\text{DAK}} = 90^o`
`=> \hat{\text{HAB}} + \hat{\text{ABC}} = 90^o`
`=> \Delta \text{ABH}` là `\Delta` vuông tại `\text{H}`
`=> \Delta AH ⊥ BC`
`=> \Delta MA ⊥ BC`
`\text{3)}`
Cho `HC = t`
`=> HB = BC - HC = a - t `
Áp dụng định lý Py-ta - go cho `\Delta \text{ABH}` và `\Delta \text{ACH}` cùng vuông tại `\text{H}`
$\begin{cases} AB^2 = HB^2 + AH^2 \\ AC^2 =AH^2 + HC^2 \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases} c^2 = (a-t)^2 + AH^2 \\ b^2 =AH^2 + t^2 \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases} AH^2 = c^2 - (a-t)^2 \\ AH^2 = b^2 - t^2 \end{cases}$
`=> AH^2 = c^2 - (a-t)^2 = b^2 - t^2`
`=> b^2 = c^2 - (a-t)^2 + t^2`
`=> b^2 = c^2 - (a-t)(a-t) + t^2`
`=> b^2 = c^2 + a(a-t) - t(a - t) + t^2`
`=> b^2 = c^2 + a^2 - at - at - t^2 + t^2`
`=> b^2 = c^2 + a^2 - 2at `
`=> 2at = c^2 + a^2 - b^2`
`=> t = {c^2 + a^2 - b^2}/{2a}`
`=> HC = {c^2 + a^2 - b^2}/{2a}`
