Câu $5$.

$1$) Ta có: 

`A = 4/3 + 4/{15} + 4/{35} + .... + 4/{399}`

`⇔A = 2. (2/3 + 2/{15} + 2/{35} + .... + 2/{399})`

`⇔ A = 2. (2/{1.3} + 2/{3.5} + 2/{5.7} + .... + 2/{19.21})`

`⇔ A = 2. (1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 + ..... + 1/{19} - 1/{21})`

`⇔A = 2.(1 - 1/{21})`

`⇔ A = 2 - 2/{21}`

`⇔ A = {40}/{21}`

   Vây `A = {40}/{21}`.

$2$) Đặt $d=ƯCLN(3n-10;4n-13)$

$⇒$ $\left\{\begin{matrix} 3n-10 \vdots d\\4n-13 \vdots d \end{matrix}\right.$

$⇔$ $\left\{\begin{matrix} 4(3n-10) \vdots d\\3(4n-13) \vdots d \end{matrix}\right.$

$⇒ 4(3n-10) - 3(4n-13) \vdots d$

$⇔ 12n - 40 - 12n + 39 \vdots d$

$⇔ -1 \vdots d$

$⇒$ $d=1$ 

Vậy phân số $\dfrac{3n-10}{4n-13}$ là phân số tối giản với mọi số nguyên $n$. ($đpcm$)

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Câu 5: 

`1``)` Tính nhanh`:`

`A` `=` `\frac{4}{2}` `×` `(``2/3` `+` `2/15` `+` `2/35` `+` `...` `+` `2/339``)``.`

`A` `=` `\frac{4}{2}` `×` `(``2/13` `+` `2/15` `+` `2/35` `+` `...` `+` `2/339``)``.`

`A` `=` `\frac{4}{2}` `×` `(``\frac{2}{1×3}` `+` `\frac{2}{3×5}` `+` `\frac{2}{5×7}` `+` `...` `+` `\frac{2}{19×21}``)``.` 

`A` `=` `\frac{4}{2}` `×` `(``1` `-` `1/3` `+` `1/3` `-` `1/5` `+` `1/5` `-` `1/7` `+` `...` `+` `1/19` `-` `1/20``.`

`A` `=` `\frac{4}{2}` `×` `(``1` `-` `\frac{1}{20}``)``.`

`A` `=` `\frac{4}{2}` `×` `\frac{19}{20}``.`

`A` `=` `\frac{4×19}{2×20}``.`

`A` `=` `\frac{19}{10}``.`

`2``)` Để phân số `\frac{3n-10}{4n-13}` là phân số tối giản thì `ƯCLN``(``3n` `-` `10``;` `4n` `-` `13``)` `=` `1``.` 

Đặt `d` `=` `ƯCLN``(``3n` `-` `10``;` `4n` `-` `13``)``.`

Ta có`:` $\left.\begin{matrix} (3n - 10) \vdots d \\ (4n - 13) \vdots d \end{matrix}\right\}$ `⇒` $\left.\begin{matrix} 4\times(3n - 10) \vdots d \\ 3\times(4n - 13) \vdots d \end{matrix}\right\}$ `⇒` $\left.\begin{matrix} (12n - 40) \vdots d \\ (12n - 39) \vdots d \end{matrix}\right\}$

`⇒` `(``12n` `-` `39``)` `+` `(``12n` `-` `40``)` `\vdots` `d``.`

          Hay                 `1`                            `\vdots` `d``.`

`⇒` `d` `=` `1``.`

`⇒` `ƯCLN``(``3n` `-` `10``;` `4n` `-` `13``)` `=` `1``.` 

`⇒` Phân số `\frac{3n-10}{4n-13}` là phân số tối giản với mọi số nguyên n.

Vậy phân số `\frac{3n-10}{4n-13}` là phân số tối giản với mọi số nguyên n.