Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Xét đường tròn đường kính AB có ∠MAN nội tiếp chắn nửa đường tròn
⇒ ∠MAN = $90^{o}$
mà A,M,P thẳng hàng , A,N,Q thẳng hàng
⇒ ∠PAQ = $90^{o}$ ⇒ ΔAPQ vuông tại A (đpcm)
Xét đường tròn đường kính AB có ∠AMB nội tiếp chắn nửa đường tròn
⇒ ∠AMB = $90^{o}$ ⇒ BM⊥AP
Xét đường tròn đường kính AB có BP là tiếp tuyến tại B
⇒ AB⊥BP ⇒ ΔABP vuông tại B
Xét ΔABP vuông tại B có BM⊥AP ⇒ AM.AP=AB² ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )
Chứng minh tương tự ta có: AB²=AN.AQ
⇒ AM.AP=AN.AQ (đpcm)
b) Từ AM.AP = AN.AQ ⇒ $\frac{AM}{AN}$ = $\frac{AQ}{AP}$
Xét ΔAMN và ΔAQP có : $\frac{AM}{AN}$ = $\frac{AQ}{AP}$ , chung ∠MAN
⇒ ΔAMN ~ ΔAQP (c.g.c) ⇒ ∠AMN = ∠AQP
mà ∠AMN + ∠NMP = $180^{o}$ ( 2 góc kề bù )
⇒ ∠AQP + ∠NMP = $180^{o}$ ⇒ Tứ giác MNPQ nội tiếp (đpcm)
c) Vì ΔAPQ vuông tại A (chứng minh a ) , I là trung điểm PQ
⇒ IA=IP ⇒ ΔIAP cân tại I ⇒ ∠IAP = ∠IPA
mà ∠IPA + ∠IQA = $90^{o}$ ⇒ ∠IAP + ∠IQA = $90^{o}$
mà ∠IQA = ∠AMN ( chứng minh b) ⇒ ∠AMN + ∠IAP = $90^{o}$
⇒ AI⊥MN ( đpcm )
*) ∠ là góc nhé bạn
