Đáp án:
\[\dfrac{1}{2} \le m \le 1\]
Giải thích các bước giải:
Với \(m = \dfrac{3}{2}\), thay vào phương trình đã cho ta được:
\(\begin{array}{l}
0.{\cos ^2}2x = 4.\left( {\dfrac{3}{2} - 1} \right)\\
\Leftrightarrow 0 = 2
\end{array}\)
Phương trình trên vô nghiệm.
Với \(m \ne \dfrac{3}{2}\) ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {2m - 3} \right).{\cos ^2}2x = 4.\left( {m - 1} \right)\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}2x = \dfrac{{4.\left( {m - 1} \right)}}{{2m - 3}}\\
- 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le {\cos ^2}2x \le 1
\end{array}\)
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
0 \le \dfrac{{4.\left( {m - 1} \right)}}{{2m - 3}} \le 1\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{4\left( {m - 1} \right)}}{{2m - 3}} \ge 0\\
\dfrac{{4.\left( {m - 1} \right)}}{{2m - 3}} \le 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{m - 1}}{{2m - 3}} \ge 0\\
\dfrac{{4m - 4}}{{2m - 3}} - 1 \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > \dfrac{3}{2}\\
m \le 1
\end{array} \right.\\
\dfrac{{2m - 1}}{{2m - 3}} \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > \dfrac{3}{2}\\
m \le 1
\end{array} \right.\\
\dfrac{1}{2} \le m < \dfrac{3}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le m \le 1
\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{1}{2} \le m \le 1\) thì phương trình đã cho có nghiệm.
