Đáp án:
$\dfrac13$
Giải thích các bước giải:
Ta có: $x + y + z = 0$
$\to \begin{cases}x + y = - z\\y + z = - x\\z + x = -y\\(x+y+z)^2 = 0\end{cases}$
$\to \begin{cases}(x + y)^2 = z^2\\(y+z)^2 = x^2\\(z + x)^2 = y^2\\x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 0\end{cases}$
$\to \begin{cases}(x - y)^2 + 4xy = z^2\\(y - z)^2 + 4xy = x^2\\(z - x)^2 + 4zx = y^2\\2(x^2 + y^2 + z^2) = - 4(xy + yz +zx)\end{cases}$
Ta được:
$\dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2}$
$= \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{(z^2 - 4xy) + (x^2 - 4yz) + (z^2 - 4xy)}$
$=\dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{x^2 + y^2 + z^2 - 4(xy + yz + zx)}$
$=\dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{x^2 + y^2 + z^2 + 2(x^2 + y^2 + z^2)}$
$=\dfrac13$
