Số các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\) có hai nghiệm thực phân biệt là: A.3B.4C.5D.6

ainhungn

2 năm trước

Số các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\) có hai nghiệm thực phân biệt là:

A.3
B.4
C.5
D.6

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 23 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

ainhungn

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Điều kiện \(\left\{ \begin{align} & x>1 \\ & mx>8 \\ \end{align} \right.\Rightarrow x>\max \left\{ 1;\frac{8}{m} \right\}\,\,\left( m\ne 0 \right).\)
Ta có
\(\begin{align} & \,\,\,\,\,{{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right) \\ & \Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right) \\ & \Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=mx-8\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+9=0\,\,\left( 1 \right). \\ \end{align}\)
Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình
\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4.9 = {m^2} + 4m - 32 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 4} \right)\left( {m + 8} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < - 8\end{array} \right.\end{array}\)
Nếu \(m<0\) thì với \(x>1\) ta có \(mx-8<0\) do đó \({{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\) không xác định.
Vậy điều kiện để \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt trước hết là \(m>4.\)
Khi đó hai nghiệm là \({{x}_{1}}=\frac{\left( m+2 \right)-\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}}{2},{{x}_{2}}=\frac{\left( m+2 \right)+\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}}{2}.\)
Ta có \({{x}_{2}}>{{x}_{1}}.\)
Để \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta cần \({{x}_{1}}>m\text{ax}\left\{ 1;\frac{8}{m} \right\}.\)
Nếu \(m=8,\) thì phương trình ban đầu trở thành \({{\log }_{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}\left( 8x-8 \right)\Rightarrow \left( x-1 \right)\left( x-9 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=9 \\ \end{align} \right..\)
Nhưng \(x=1\) không phải là nghiệm nên phương trình đã cho chỉ có một nghiệm. Do đó \(m=8\) không phải là giá trị cần tìm.
Với \(m<8.\) Khi đó ta cần tìm \(m\) sao cho \({{x}_{1}}>\frac{8}{m}\Leftrightarrow \frac{\left( m+2 \right)-\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}}{2}>\frac{8}{m}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-16>m\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}.\)
Do \(m>4,m\in \mathbb{Z}\) nên \({{m}^{2}}+2m-16>0.\)
Bình phương hai vế bất đẳng thức trên ta được \(\begin{align}& \,\,\,\,\,\,{{\left( {{m}^{2}}+2m-16 \right)}^{2}}>{{m}^{2}}\left( {{m}^{2}}+4m-32 \right)\Leftrightarrow {{m}^{4}}+4{{m}^{2}}+{{16}^{2}}+4{{m}^{3}}-32{{m}^{2}}-64m>{{m}^{4}}+4{{m}^{3}}-32{{m}^{2}} \\& \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-64m+{{16}^{2}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-16m+{{8}^{2}}>0\Leftrightarrow {{\left( m-8 \right)}^{2}}>0. \\\end{align}\)
Bất đẳng thức cuối đúng do \(m\ne 8.\) Vậy \(4
Với \(m>8\) ta cần tìm \(m\) sao cho \({{x}_{1}}>1\Leftrightarrow \frac{\left( m+2 \right)-\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}}{2}>1\Leftrightarrow m-\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}>0\Leftrightarrow m>\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}\Leftrightarrow 8>m.\)
Bất phương trình này vô nghiệm. Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn \(m>8\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. \(\)
Vậy có \(3\) giá trị cần tìm của \(m.\) \(\)
Chọn đáp án A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho \(a,b,c\) là các số thực khác \(1.\)

Hình vẽ bên là đồ thị của các hàm số \(y={{a}^{x}},y={{b}^{x}},y={{c}^{x}}.\)

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.\(a<b<c.\)
B. \(c<b<a.\)
C.\(a<c<b.\)
D.\(c<a<b.\)

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao \(h=20\,cm,\) bán kính đáy \(r=25cm.\) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là \(12cm.\) Tính diện tích của thiết diện đó.

A. \(S=500\left( c{{m}^{2}} \right).\)
B.\(S=400\left( c{{m}^{2}} \right).\)
C. \(S=300\left( c{{m}^{2}} \right).\)
D.\(S=406\left( c{{m}^{2}} \right).\)

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) thể tích là \(V.\) Tính thể tích của tứ diện \(ACB'D'\) theo \(V.\)

A.\(\dfrac{V}{6}.\)
B.\(\dfrac{V}{4}.\)
C. \(\dfrac{V}{5}.\)
D. \(\dfrac{V}{3}.\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right),\) đáy là hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\) có \(AB=a,\,AD=3a,\,BC=a.\) Biết \(SA=a\sqrt{3},\) tính thể tích khối chóp \(S.BCD\) theo \(a.\)

A.\(2\sqrt{3}{{a}^{3}}.\)
B. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}.\)
C.\(\frac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.\)
D.\(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}.\)

Cho các số thực dương \(a,b\) với \(a\ne 1\) và \({{\log }_{a}}b>0.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.\(\left[ \begin{array}{l}0 < a,b < 1\\0 < a < 1 < b\end{array} \right..\)
B.\(\left[ \begin{array}{l}0 < a,b < 1\\1 < a,b\end{array} \right..\)
C.\(\left[ \begin{array}{l}0 < b < 1 < a \\1 < a,b\end{array} \right..\)
D.\(\left[ \begin{array}{l}0 < b,a < 1\\0 < b < 1 < a\end{array} \right..\)

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y=f'\left( x \right),\) (\(y=f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) ). Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right).\) Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right).\)
B. Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 2;+\infty \right).\)
C.Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \( (-1; 0) \).
D. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( 0;2 \right).\)

Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(x+2y=1\) giá trị nhỏ nhất của \(M=\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\) là:

A.8
B.9
C.10
D.11

Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(2x+2y+xy\ge 12.\) Giả sử rằng \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}.\) Khi đó

A.\(P\ge 10\)
B.\(P\ge 51\)
C. \(P\ge 8\)
D. \(P\ge 14\)

Cho \(x,y,z>0\) thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4.\) Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức

\(M=\frac{1}{3x+2y+z}+\frac{1}{x+3y+2z}+\frac{1}{2x+y+3z}\) là:

A.\(1\)
B.\(\frac{5}{3}\)
C.\(\frac{2}{3}\)
D. \(\frac{4}{3}\)

Cho \(a,b,c>0.\) Giả sử

(i) \(\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)\ge 8abc\)          (ii)\(\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)\ge 6abc\)

Khi đó mệnh đề đúng là:

A.Chỉ có \((i)\) đúng
B. Chỉ có \(\left( ii \right)\) đúng
C.Cả hai đều sai
D.Cả hai đều đúng

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến