Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
- Đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng \(x = {x_0}\) là TCĐ khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = - \infty \).
- Tính giới hạn bẳng phương pháp nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp, và sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\).
Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1\).
Xét phương trình mẫu số:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} - {x^2} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)\sin x}}{{{x^3} - {x^2} - 6x}}\\y = \dfrac{{\left( {x + 1 - 4} \right)\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\y = \dfrac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\end{array}\)
Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \dfrac{1}{{\left( {1 + 2} \right)\left( {0 + 2} \right)}}.1 = \dfrac{1}{6}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \dfrac{1}{{\left( {1 + 2} \right)\left( {0 + 2} \right)}}.1 = \dfrac{1}{6}\)
Suy ra x = 0 không là TCĐ của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \dfrac{{\sin 3}}{{60}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \dfrac{{\sin 3}}{{60}}\).
Suy ra x = 3 không là TCĐ của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho không có TCĐ.
Đáp án B.
