Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:ĐKXĐ: \({x^2} + 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 3\end{array} \right.\)
Xét phương trình \({2^{2x + 1}} - {9.2^x} + 4\sqrt {{x^2} + 2x - 3} \ge 0\,\,\left( * \right)\)
Đặt \(f\left( x \right) = {2^{2x + 1}} - {9.2^x} + 4\sqrt {{x^2} + 2x - 3} \)
\(f'\left( x \right) = 4\ln {2.2^{2x}} - 9\ln {2.2^x} + \dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x - 3} }}\)
Nhận xét:
+) \(x = 1\) : không thỏa mãn BPT (*)
+) Với \(x \ge 2\), ta có: \(\dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x - 3} }} \ge 0,\)\(4\ln {2.2^{2x}} - 9\ln {2.2^x} = {4.2^x}\ln 2.\left( {{2^x} - \dfrac{9}{4}} \right) > 0\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \ge 2\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 2 \right),\,\,\forall x \ge 2 \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 4.\sqrt 5 - 4 > 0\)\(,\,\,\forall x \ge 2\)
\( \Rightarrow \left( * \right)\) đúng với mọi \(x \ge 2\)
Mà \(x \in \mathbb{Z},x \in \left[ { - 20;20} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;...;20} \right\}\): 19 giá trị
+) \(x = - 3\) : không thỏa mãn BPT (*)
+) Với \(x \le - 4\), ta có: \(\dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x - 3} }} < 0,\)\(4\ln {2.2^{2x}} - 9\ln {2.2^x} = {4.2^x}\ln 2.\left( {{2^x} - \dfrac{9}{4}} \right) < 0\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \le - 4\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( { - 4} \right),\,\,\forall x \le - 4 \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 4\sqrt 5 - \dfrac{{71}}{{128}} > 0,\,\,\forall x \le - 4\)
\( \Rightarrow \left( * \right)\) đúng với mọi \(x \le - 4\)
Mà \(x \in \mathbb{Z},x \in \left[ { - 20;20} \right] \Rightarrow x \in \left\{ { - 20; - 19;...; - 4} \right\}\): 17 giá trị
Vậy, BPT đã cho có tất cả 36 nghiệm nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\).
Chọn B.
