Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta cần chứng minh: $\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3} \geq xyz+\dfrac{3}{4}.|(x-y)(y-z)(z-x)|$
$⇔ \dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}-xyz \geq \dfrac{3}{4}.|(x-y)(y-z)(z-x)|$
$⇔ \dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{3} \geq \dfrac{3}{4}.|(x-y)(y-z)(z-x)|$
$⇔ (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \geq \dfrac{9}{4}.|(x-y)(y-z)(z-x)|$
$⇔ (x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] \geq \dfrac{9}{2}.|(x-y)(y-z)(z-x)|$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \geq 3\sqrt[3]{(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2}$ $(1)$
Mặt khác: $x+y \geq |x-y|$
$y+z \geq |y-z|$
$z+x \geq |z-x|$
$⇒ 2(x+y+z) \geq |x-y|+|y-z|+|z-x| \geq 3\sqrt[3]{|(x-y)(y-z)(z-x)|}$
$⇒ x+y+z \geq \dfrac{3}{2}.\sqrt[3]{|(x-y)(y-z)(z-x)|}$ $(2)$
Nhân từng vế $(1), (2)$ ta được:
$(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] \geq \dfrac{9}{2}.|(x-y)(y-z)(z-x)|$
$⇒ đpcm.$
Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z$
