tam giác ABC có góc BAC = 90 độ và AB < AC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho AE = AC. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi M là trung điểm của BC; N là trung điểm của DE. Đường thẳng BC cắt DE tại H. Chứng minh rằng:
a) DE = BC
b) BC vuông góc DE tại H
c) AN = AM và AN vuông góc với AM
Giúp mình với mn ơi :D
a. Xét hai tam giác vuông \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADE\): Ta có: AB=AD AE=AC Vậy \(\Delta ABC\) = \(\Delta ADE\) (hai cạnh góc vuông) Vậy DE=BC (cạnh tương ứng) b. Xét hai tam giác \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBE\): \(\widehat{ACB}=\widehat{DEA}\) (góc tương ứng) \(\widehat{ABC}=\widehat{HBE}\) (góc đối) Nên \(\widehat{BAC}=\widehat{BHE}=90°\) Vậy BC vuông góc DE c. Do \(\Delta ABC\) = \(\Delta ADE\) và AN là đường trung tuyến \(\Delta ABC\); AM là đường trung tuyến \(\Delta ADE\) Nên AM=AN Xét \(\Delta AFN\) và \(\Delta AFM\): Ta có: AF cạnh chung AM=AN \(\widehat{AMF}=\widehat{ANF}\) (hai góc đáy của tâm giác cân) Vậy \(\Delta AFN\) = \(\Delta AFM\) (c.g.c) Nên \(\widehat{MAF}=\widehat{NAF}\) (góc tương ứng) (1) Mà \(\Delta ADN\) và \(\Delta AEN\) nên \(\widehat{DAN}=\widehat{EAN}\) (góc tương ứng) (2) Từ (1)(2) Suy ra: \(\widehat{MAF}\) =\(\widehat{NAF}=\widehat{DAN}=45°\) Suy ra góc MAN=90°, AM vuông góc AN