Giải thích các bước giải:
Gọi $BM\cap CN=H$
Ta có $BM//AC\to \widehat{MAC}=180^o-\widehat{AMB}=\widehat{ACB}$
$\to AMNC$ là hình thang cân
Tương tự $ANCB$ là hình thang cân
Ta có $AB//CN\to AB//CH, AC//BM\to AC//BH\to ABHC$ là hình bình hành
Gọi $AH\cap BC=I\to I$ là trung điểm $BC$
Ta có $AMBC$ là hình thang cân $\to AM=BC$
Tương tự $AN=BC=\to AM=AN=CB$
$\to \widehat{MOB}+\widehat{CON}=360^o-\widehat{AOM}-\widehat{AON}-\widehat{BOC}$
$\to \widehat{MOB}+\widehat{CON}=360^o-3\widehat{BOC}$
$\to \widehat{MOB}+\widehat{CON}=360^o-3\cdot 2\widehat{BAC}$
$\to \widehat{MOB}+\widehat{CON}=360^o-3\cdot 2\cdot 45^o$
$\to \widehat{MOB}+\widehat{CON}=90^o$
$\to \widehat{MOB}+\widehat{CON}+\widehat{BOC}=90^o+90^o$
$\to \widehat{MON}=180^o$
$\to M,O,N$ thẳng hàng
$\to MN$ là đường kính của $(O)$
$\to MC\perp CN\to MC\perp HF$
Mà $E,I$ là trung điểm $BM,BC\to EI$ là đường trung bình $\Delta BCM$
$\to EI//CM\to EI\perp HF$
Tương tự $FI\perp HE$
$\to I$ là trực tâm $\Delta HEF$
$\to HI\perp EF
$\to AH\perp EF$
$\to $Đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $EF$ luôn đi qua $I$ là trung điểm $BC$ cố định
