Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\,AB = a,\,BC = a\sqrt 2 \), mặt bên \(\left( {AA'B'B} \right)\) có diện tích bằng \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\). Tính thể tích khối lăng trụ.
A.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
B.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
C.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).
D.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

Vớia là số thực dương tùy ý, \({\log _3}\dfrac{{{a^4}}}{{27}}\) bằng
A.\(3 - 4{\log _3}a\).      
B.\(4{\log _3}a - 3\).
C.\(4{\log _3}a + 4\).
D.\(4{\log _3}a - 4\).

Cho \(\int\limits_3^4 {\dfrac{1}{{{x^2} + 2x - 3}}} dx = a\ln 3 + b\ln 7,\,a,b\) là các số hữu tỉ. Tính giá trị biểu thức \(P = a - 2b\).
A.\(P =  - 1\).       
B.\(P = 1\).
C.\(P = 4\).
D.\(P = 0\).

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x =1 và x = 2 , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x , (1 ≤ x ≤ 2) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(x\) và \(\sqrt {{x^2} + 3} \).
A.\(\dfrac{{7\sqrt 7  - 8}}{3}\).
B.\(\dfrac{{16\sqrt 2  - 7}}{3}\).
C.\(\dfrac{{8\sqrt 7  - 7}}{3}\).
D.\(8\sqrt 2  - 4\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị hàm số như hình bên. Khẳng  định nào sau đây là đúng?
A.\(a < 0,b < 0,c = 0,d > 0\).
B.\(a > 0,b < 0,c > 0,d > 0\).
C.\(a < 0,b > 0,c > 0,d > 0\).
D.\(a < 0,b > 0,c = 0,d > 0\).

Trên một đường dây truyền tải điện có công suất truyền tải không đổi, nếu tăng tiết diện dây dẫn lên gấp đôi, đồng thời cũng tăng hiệu điện thế truyền tải điện năng lên gấp đôi thì công suất hao phí trên đường dây tải điện sẽ
A.giảm đi tám lần. 
B.giảm đi bốn lần.  
C.giảm đi hai lần.    
D.không thay đổi.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\). Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?
A.\(1\)
B.\(2\)
C.\(0\)
D.\(3\)

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng a, tâm của đáy là O. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh SA, SC. Gọi E là giao điểm của SD và mặt phẳng (BMN). Tính thể tích V của khối chóp O.BMEN.
A.\(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{36}}\).
B.\(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
C.\(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{18}}\).
D.\(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {2; - 3;3} \right)\). Mặt phẳng đi qua M  và  cắt các tia \(Ox,\,Oy,\,Oz\) tại \(A,B,C\) khác O sao cho \(OA = 2OB = 3OC\) có phương trình là:
A.\(x + 2y + 3z - 5 = 0\).
B.\(x - 2y - 3z + 1 = 0\).
C.\(x + 2y + 3z + 13 = 0\).
D.\(x - 2y + 3z - 17 = 0\).

Cho khối tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AC,BD\) thỏa mãn \(A{C^2} + B{D^2} = 16\) và các cạnh còn lại đều bằng 6. Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) đạt giá trị lớn nhất bằng
A.\(\dfrac{{16\sqrt 2 }}{3}\).
B.\(\dfrac{{32\sqrt 2 }}{3}\)
C.\(\dfrac{{16\sqrt 3 }}{3}\).
D.\(\dfrac{{32\sqrt 3 }}{3}\).