Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Phương trình đã cho \(\Leftrightarrow m+1+\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{m+1+\sqrt{1+\sin x}}=1+\sin x+\sqrt{1+\sin x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)
Ta có hàm số \(f\left( a \right)={{a}^{2}}+a\) trên khoảng \(\left[ 0;+\,\infty \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;+\,\infty \right).\)
Khi đó \(\left( * \right)\)\(\Leftrightarrow \)\(f\left( \sqrt{m+1+\sqrt{1+\sin x}} \right)=f\left( \sqrt{1+\sin x} \right)\Leftrightarrow \sqrt{m+1+\sqrt{1+\sin x}}=\sqrt{1+\sin x}\)
\(\Leftrightarrow m+1+\sqrt{1+\sin x}=1+\sin x\Leftrightarrow \sqrt{1+\sin x}=\sin x-m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \right).\)
Đặt \(t=\sqrt{1+\sin x}\) mà \(-\,1\le \sin x\le 1\,\,\Rightarrow \,\,t\in \left[ 0;\sqrt{2} \right],\) khi đó \(\left( \right)\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} 0\le t\le \sqrt{2} \\ m=g\left( t \right)={{t}^{2}}-t-1 \\ \end{align} \right..\)
Xét hàm số \(g\left( t \right)={{t}^{2}}-t-1\) trên đoạn \(\left[ 0;\sqrt{2} \right]\) có : \(g'\left( t \right)=2t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( 0 \right) = - 1\\g\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{5}{4}\\g\left( {\sqrt 2 } \right) = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\sqrt 2 } \right]} g\left( t \right) = - \frac{5}{4}\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\sqrt 2 } \right]} g\left( t \right) = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right..\)
Do đó, để phương trình đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow \,\,-\frac{5}{4}\le m\le 1-\sqrt{2}.\)
Vậy \(a+b=-\frac{1}{4}-\sqrt{2}.\)
Chọn D
