Đáp án:
Giải thích các bước giải:
f) $ 2S_{AEF} = AE.AF.sinA; 2S_{ABC} = AB.AC.sinA$
$ ⇒ \frac{S_{AEF} }{S_{ABC} } = \frac{AE}{AB}. \frac{AF}{AC} = cos²A (1)$
g) Áp dụng $(1):$
$\frac{S_{AFD} }{S_{ABC} } = cos²B (2); \frac{S_{ADE} }{S_{ABC} } = cos²C (3)$
$\frac{S_{DEF} }{S_{ABC} } = \frac{S_{ABC} - S_{AEF} - S_{AFD} - S_{ADE} }{S_{ABC} }$
$ = 1 - (\frac{S_{AEF} }{S_{ABC} } + \frac{S_{AFD} }{S_{ABC} } + \frac{S_{ADE} }{S_{ABC} }) $
$ = 1 - (cos²A + cos²B + cos²C)$
h) $∠CHD = ∠B $ (cùng bù với $∠DHF$)
Trong $ΔCDH : ∠CHD = ∠B ⇒ tanB = tan(CHD) = \frac{CD}{HD} (4)$
Trong $ΔCDA : tanB = \frac{AD}{CD} (5)$
$ (4).(5) : tanB.tanC = \frac{CD}{HD}. \frac{AD}{CD} = \frac{AD}{HD} (6)$
i) $ ∠ACD = 45^{0} ⇒ ΔACD =$ vuông cân tại $D ⇒ AD = CD$
Tương tự $: HD = BD ⇒ AD + BD = CD + BD = BC = 2a (7)$
Theo $(6) : \frac{AD}{HD} = tanB.tanC = tan60^{0}.tan45^{0} = \sqrt[]{3} (8)$
Giải hệ $(7); (8) ⇒ AD = \frac{2a\sqrt[]{3}}{1 + \sqrt[]{3}}$
$ S_{ABC} = \frac{1}{2} AD.BC = \frac{2a²\sqrt[]{3}}{1 + \sqrt[]{3}}$
j) $ΔMBC$ vuông tại $M$ đường cao $MD ⇒ MD² = BD.CD (9)$
$ Δ$ vuông $ACD ≈ Δ$ vuông $BHD$
$ ⇒ \frac{AD}{CD} = \frac{BD}{HD} ⇔ AD.HD = BD.CD (10)$
$ (9); (10) ⇒ MD² = AD.HD ⇔ (BD.MD)² = (BD.AD)(BD.HD)$
$ ⇔ 4S²_{BMC} = 4S_{ABC}.S_{BHC} ⇔ S_{BMC} = \sqrt[]{S_{ABC}.S_{BHC}}$
