Bài 1 : Tìm các số nguyên a sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên : $x^{2}+a^{2}x+(a-1)=0$

Bài 2 : Giả sử a;b là 2 số nguyên dương đã cho , biết $\frac{a+b}{\sqrt{a.b}}$ là số nguyên dương. CMR : a=b

Bài 1 : PT có nghiệm nguyên $\Leftrightarrow \Delta \ge 0$ và $\Delta$ là số chính phương
Xét phương trình trên có $\Delta=a^4-4a+4$
Xét $-3 \le a \le 1$ thì $a=-1,0,1$ thỏa
Nếu $a$ không nằm trong khoảng đó thì $(a^2+1)^2>\Delta>(a^2-1)^2$
Suy ra $a=-1$
thử lại tất cả các giá trị trên thì thỏa mãn
Bài 2 : Để $\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$ là số nguyên dương thì $\sqrt{ab}$ phải là số chính phương.
Đặt $d=gcd(a,b)$ suy ra $a=dx,b=dy$ trong đó $d,x,y \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(x,y)=1$
Từ đó ta có $\sqrt{ab}=d\sqrt{xy}$ là số chính phương mà vì $gcd(x,y)=1$ nên điều này xảy ra khi $x=m^2,y=n^2$ trong đó $m,n \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(m,n)=1$
Khi đó ta có $\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=\frac{d(m^2+n^2)}{dmn}=\frac{m^2+n^2}{mn}$
Suy ra $m|(m^2+n^2)$ nên $m|n$ tương tự như vậy suy ra $n|m$ từ đó suy ra $m=n$
Suy ra $m=n=1$ từ đó suy ra $a=b=d$ (đpcm)

Bài 1 : PT có nghiệm nguyên $\Leftrightarrow \Delta \ge 0$ và $\Delta$ là số chính phương
Xét phương trình trên có $\Delta=a^4-4a+4$
Xét $-3 \le a \le 1$ thì $a=-1,0,1$ thỏa
Nếu $a$ không nằm trong khoảng đó thì $(a^2+1)^2>\Delta>(a^2-1)^2$
Suy ra $a=-1$
thử lại tất cả các giá trị trên thì thỏa mãn
Bài 2 : Để $\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$ là số nguyên dương thì $\sqrt{ab}$ phải là số chính phương.
Đặt $d=gcd(a,b)$ suy ra $a=dx,b=dy$ trong đó $d,x,y \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(x,y)=1$
Từ đó ta có $\sqrt{ab}=d\sqrt{xy}$ là số chính phương mà vì $gcd(x,y)=1$ nên điều này xảy ra khi $x=m^2,y=n^2$ trong đó $m,n \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(m,n)=1$
Khi đó ta có $\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=\frac{d(m^2+n^2)}{dmn}=\frac{m^2+n^2}{mn}$
Suy ra $m|(m^2+n^2)$ nên $m|n$ tương tự như vậy suy ra $n|m$ từ đó suy ra $m=n$
Suy ra $m=n=1$ từ đó suy ra $a=b=d$ (đpcm)

gdc:UCLN