Đáp án:
\[a = - 5;\,\,\,b = 5\]
Giải thích các bước giải:
\(x = \sqrt 2 + 1\) là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^3} + a.{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} + b.\left( {\sqrt 2 + 1} \right) + 3 = 0\\
\Leftrightarrow 7 + 5\sqrt 2 + a.\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) + b.\left( {\sqrt 2 + 1} \right) + 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {7 + 3a + b + 3} \right) + \sqrt 2 .\left( {5 + 2a + b} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {10 + 3a + b} \right) + \sqrt 2 .\left( {5 + 2a + b} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)
Do \(a,b\) là các số hữu tỉ nên phương trình (1) xảy ra khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
10 + 3a + b = 0\\
5 + 2a + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a + b = - 10\\
2a + b = - 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - 10 - 3a\\
2a + \left( { - 10 - 3a} \right) = - 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - 10 - 3a\\
- a = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 5\\
b = 5
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(a = - 5;\,\,\,b = 5\)
